sinus- og cosinusrelationerne

Slet ingen? :(

Prøv at søg på google... =P

Det er ret svært at forklare over et forum som dette, det bedste du kan gøre på nuværende tidspunkt er nok at læse i dine noter og bogen.

#3 Jeg er godt klar over at det er svært, men på den anden side, så er der mange kloge hoveder herinde :)

sin-relationen:

1) tegn en vilkårlig trekant

2) konstruer valgfrit to midtnormaler

3) med midtnormalernes skæringspunkt, D, som centrum og afstanden til en vilkårlig af trekantens vinkelspidser som radius, R, tegnes trekantens omskrevne cirkel

4) den mindste af buerne BC sættes til 2x°, den mindste af buerne AC sættes til 2y° og den mindste af buerne AB sættes til 2z°

5) ved betragtning af f.eks. trekant BDC og anvendelse af kordeformlen samt at vinkel D, der som centervinkel måles ved den bue, den spænder over fås:

a = 2R*sin(D/2) = 2R*sin(2x°/2) = 2R*sin(x°) = 2R*sin(A), da A er en periferivinkel, som måles ved det halve af den bue, den spænder over

a = 2R*sin(A)
eller

a/sin(A) = 2R

6) nøjagtig den samme bevisførelse gennemføres ved betragtning af trekanterne ADC og ADB

hvoraf

a/sin(A) = b/sin(B) =c/sin(C) 2R, der udtrykker,

at i en vilkårlig trekant ABC er forholdet mellem en vilkårlig side og sinus til den modstående vinkel konstant (lig med diameteren i trekantens omskrevne cirkel)

cos-relationen:

trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet

med
1) A i (0,0)

2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1

4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D

dermed er vinkel B spids

ved figurbetragtning ses:

c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2

*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)


beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:

ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1

og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2

**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

eneste forskel på *) og **) er

i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)

bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.

Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer

rettelse til #5

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) 2R

-->

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

et 7 tal (nye skala) blev det til. Men jeg er en dør til matematik så det passer mig fint. Tak for hjælpen folkens!