Kongruenser.

Hvis a er kongruent til b mod c, så går c op i differencen mellem a ob, så vi kan skrive: (a-b)/c = n

Som du har skrevet 4-72 er ikke lig 4-2. Du har skrevet et lighedstegn i stedet for en kongruenstegn (tre vandrette streger. Du har gjort den fejl, at du har behandlet det som et lighedstegn.

Jeg skrev jo: Lighedstegnet " = " betyder i dette indlæg "Kongruent med".

Det jeg mener er.
Som eks.:
Jeg skal finde ud af om hvad 2005^5 er kongruent med modulos 10.
Jeg ved at 2005 er kongruent med 5 modulos 10. Derfor kan jeg substituere og sige, at: 2005^5 er kongruent med 5^5 modulos 10.
Det er da i hvert fald rigtigt.

Men hvis jeg nu skal finde ud af, hvad 4 - 72 er kongruent med modulus 10:
Jeg ved at 72 er kongruent med 2 modulos 10. Men hvorfor kan jeg så ikke substituere og sige, at 4 - 72 da må være kongruent med 4 - 2 modulos 10?

På forhånd mange tak.

Der går ikke noget galt.

Betegn med [a]_n kongruensklassen bestående af alle heltal kongruente med a modulo n.

Mængden af kongruensklasser er {[0]_n, [1]_n,...,[n-1]_n} hvor repræsentanterne for en kongruensklasse såsom [1]_n, betegner resten ved division med n. Enhver kongruensklasse [a]_n består af elementerne

[a]_n = {...,a-3n,a-2n,a,a+n,a+2n,a+3n,...} (*)

og tilsvarende

[b]_n = {...,b-3n,b-2n,b,b+n,b+2n,b+3n,...} (**)

Hvad er nu [a]_n - [b]_n ?

[a]_n repræsenterer ethvert af elementerne i (*) som er på den generelle for a+in, i E Z. Tilsvarende repræsenterer [b]_n ethvert af elemeneterne i (**) som er på formen b+jn, j E Z. Derfor er

[a]_n - [b]_n = a+in - (b+jn) = (a-b) + (i-j)n == [a-b]_n

Øvrige regler behandles analogt. Der gælder

[a]_n - [b]_n = [a-b]_n
[a]_n + [b]_n = [a+b]_n
[a]_n * [b]_n = [a*b]_n

Derfor er

[4-72]_10 = [4]_10 - [72]_10 = [2]_10

i overensstemmelse med at 4-72=-68 og -68-2 = -70 er et helt multipla af 10.

(4-72) mod 10 = -8 mod 10 og altså ikke 8 mod 10

#3: Mange tak for svaret. Forstår det meste af det, dog ikke helt sikker på det helt sidste. Jeg læser det lige igennem nogle gange endnu.

#4: Men -8 er jo kongruent med 8 mod 10. Jeg havde bare sprunget en mellemregning over.

#5
'Men -8 er jo kongruent med 8 mod 10.'

Nej. To tal a og b er kongruente mod n hviss n er divisor i a-b; 10 er ikke divisor i (-8-8).

Kongruensklassen [-8]_10, altså mængden af heltal kongruente med -8 mod 10, er

[-8]_10 = {...,-28,-18,-8,2,12,22,...}

hvori 8 ikke er et element i overensstemmelse med ovenstsånde.