Matematik

Komplekse tal

31. august 2007 af tumle (Slettet)

Hej med jer,

Jeg sidder lige og skal skitsere områder i det komplekse plan, men jeg ved ikke helt hvordan, og det fremgår ikke rigtig af min bog. Hvis vi f.eks. har {z||z-1|eller lig med 1/2} hvordan skitsere jeg dem så?

Rasmus

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2007 af Duffy

For at kunne skitsere områderne er du nødt til først at regne ud hvordan området ser ud.

Svar #2
31. august 2007 af tumle (Slettet)

Okay, og hvordan gøres dette? :o)

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2007 af Duffy

{z||z-1|<2} . Hvad siger denne mængde af komplekse tal dig?

Altså : Hvad betyder |z-1| ?

Svar #4
31. august 2007 af tumle (Slettet)

altså ifølge min bog er det længden af vektoren som går fra 1 og ender i z, jeg er dog ikke helt sikker på at jeg kan se hvorfor det er det.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. september 2007 af piper (Slettet)

komplekse tal er vektorer

sæt z = (a,b) = (realdel, imaginæredel) så er z-(1,0) = (a-1, b)

z-1 er altså det samme som z-(1,0) her..

|z-1| = kvadratrod((a-1)^2 + b^2)) = kvadratrod(a^2-2a+1+b^2) altså længden af vektoren..

Den første {z||z-1|<2} må så være

{(a,b)| kvadratrod(a^2-2a+1+b^2) < 2 og a og b er relle tal}

Tror du, du kan komme videre her fra?

Svar #6
01. september 2007 af tumle (Slettet)

Hmm.. nu har jeg kigget og kigget på det, har virkelig bøvlet med det. Det gik op for mig (og jeg håber det er rigtigt) at kvadratrod((a-1)^2+b^2)=2 er cirklens ligning hvis vi omskriver den til (a-1)^2+b^2=2^2 og udfra den kan vi finde centrum af cirklen som er (1,0) og derfor er det alle de punkter der er indeholdt i denne cirkel da kvadratrod((a-1)^2+b^2)<2. Jeg ved ikke helt hvordan man siger det matematisk flot at det er alle punkterne i cirklen, men jeg håber i forstår hvad jeg mener.

Er der nogle som kan sige om det er rigtig eller helt forkert?

Hilsen
Rasmus

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. september 2007 af Duffy

Jah, det er det indre af cirklen med centrum i (1,0) og radius 2.

Svar #8
01. september 2007 af tumle (Slettet)

YES!.. jubii.. hehe... så faldt femøren som man siger ;o) Mange tak for hjælpen begge to :o)

Rasmus

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. september 2007 af piper (Slettet)

Godt arbejde! Det er rart at se folk, der virkelig prøver :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. september 2007 af Duffy

Jah, meget fint!

Mht til notation, så lad os prøve at løse

{z||z-1|<2}

Lad z = x+iy (således at x er realdelen og y er imaginæredelen).

--------------------

Formel: længden af et komplekst tal z, noteret |z|, er givet ved

|z| = |x+iy| = sqrt(x^2 + y^2) [jævnfør Pythagoras og vektor-regning].

--------------------

Men så kan vi nu regne

|z-1| = |(x+iy)-1| = |(x-1)+iy| = sqrt((x-1)^2 + y^2).

Og nu skulle |z-1| < 2

Så er

|z-1|^2 < 2^2

sqrt((x-1)^2 + y^2)^2 < 2^2

(x-1)^2 + y^2)^2 < 2^2

(x-1)^2 + y^2)^2 = 2^2 fremstiller en cirkel med centrum i (1,0) og radius 2.

Så (x-1)^2 + y^2)^2 < 2^2 er det indre af cirklen med centrum i (1,0) og radius 2.

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. september 2007 af Duffy

{z||z-(i+1)|>= 1/2}

|z-(i+1)| = |x+iy-(i+1)| = |x+iy-i-1| = |(x-1)+i(y-1)|

Vi har altså her længden af et komplekst tal med

real-del = x-1

og

imaginær-del = y-1 .

|(x-1)+i(y-1)| >= 1/2

(|(x-1)+i(y-1)|)^2 >= (1/2)^2

(sqrt((x-1)^2 + (y-1)^2)^2 >= (1/2)^2

(x-1)^2 + (y-1)^2 >= (1/2)^2

Nu kan vi (med vores kandskab til cirklens ligning) tolke resultatet
af ovenstående regninger:

(x-1)^2 + (y-1)^2 = (1/2)^2

beskriver en cirkel med centrum i (1,1) og radius 1/2.

Det søgte område er altså
hele den komplekse plan fraregnet
det indre af cirklen med centrum i (1,1) og radius 1/2.

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.