Bevis for henfaldslov

man kan ikke bevise en fysisk lov.

Men antagelsen er at dN/dt=-kN og løsningen til dette er

N=N0 *exp(-kt)

(hvis du ikke har haft om differentiallignigner kan jeg godt forklare de matematiske detaljer lidt nærmere - bare giv besked i givet fald..)

Det har jeg ikke - så det må du meget gerne (:

Antagelsen er at antallet af kerner der henfalder pr tidsendhed er proportionalt med antallet af kerner. Dvs., hvis antallet af kerner fordobles, så fordobles antallet af kerner der henfalder i et givet tidsrum. Der gælder altså at hver enkelt kerne har en givet sandsynlighed for at henfalde i ethvert tidsinterval.

At antallet af kerner der henfaler pr. tid er proportionelt med antallet af kerner skrives matematisk således:

dN/dt = -k*N

eller evt.

N'(t)=-k*N(t)

hvor k er henfaldskonstanten, N er antallet af kerner og t er tiden. N'(t) kan fortolkes som antallet af kerner der henfalder i et lille tidsrum.

Hvis du har forstået det jeg lige skrev, har du sådan set forstået al fysikken. Nu skal ligningen "dN/dt = -k*N" bare løses. Dette er en differentialligning og dem har du ikke lært at løse endnu, så det er lidt et problem ;)

Men hurtigt sagt er en differentialligning en ligning, hvor der indgår afledte funktioner og løsningerne til differentialligninger er funktioner.

Løsningen til N'(t)=-k*N(t) er:

N(t)=N0*exp(-k*t)

hvor N0 er antallet af kerner til starttiden, t=0.

Hvis du insætter dette i differentialligningen fås:

N'(t)=-k N(t) =>
-k*N0*exp(-k*t)=-k*N0*exp(-k*t)

Grunden til at N(t)=N0*exp(-k*t) er en løsning er at højresiden i differentialligningen er lig venstresiden, når man indsætter N(t)=N0*exp(-kt).