sfd(a,b)

Hvis du substituerer og i stedet for a^2 skriver A og i stedet for b^2 skriver B, så kan man vel skrive:

Vi går ud fra mængden T=(A*m+B*n), for hvilket det gælder, at A og B tilhører Z

Vi lader k være det mindste positive element i T, da k tilhører T, kan det skrives k = A*m+B*n. Vi kan også skrive: m=g*k+r hvor o<=r<k. Så får vi r=(1-A*q)*m+(-B*q)*n også i T. Da nu k er det mindste positive element i T, må r være 0. Derfor er m=q*k, og k deleligt med m, og på samme måde k deleligt med n. Da største fælles divisor af (m,n) er deleligt med både m og n og k deleligt med m.
Eftersom største fælles divisor af (m.n) er deleligt med både m og n og k=A*m+b*n, stf(m,n) er deleligt med k, så er k/stf((m,n) et positivt helt tal. Da k er en fælles divisor af både m og n, får vi k<=stf(m,n). Derfor er det positive heltal k/stf(m,n) <=1. Så er k/stf(m,n)=1

#0
Der går det galt at du uden videre argumentation ved 2. lighedstegn slutter hvad du skal vise. Det er korrekt (i hvert fald i Z) at sfd(a²,b²) = ma²+nb² for heltallige m,n og at sfd(a,b) = sa+tb for heltallige s,t, men du redegør ikke for hvorfor den sidste kvadreret er lig den første.

#1
Du bliver nødt til at forklare din notation, f.eks. hvad m,n,q,g er. Et par andre problemer: Hvorfra ved du at k|m? Hvorfra ved du at r E T ?

m,n og a,b er par af hele tal så a*m+b*n = std(m,n) (Bezouts identitet). Jeg foreslog blot, at foretage en substitution. Hvis beviset gælder for (a,b) <=> beviset gælder for (a^2,b^2) = (A,B). Jeg ved ikke om det er rigtigt, men det virker da logisk?
m=qk+r, r ligger mellem 0 og k, og da k er det minste element i T, så må r være 0. r tilhører T, fordi det kan skrives som (1-aq)*m+(-bq)*n

Hvis man sætter dem lig med hindanden og får et udtryk som 0=0 er det jo sandt.

Påstanden er at i linearkombinationen k = Am+Bn kna man skrive m=qk+r, 0<=r<=k-1. Det forudsætter at k < m.

Jeg prøver med et eksempel til at illustrere hvad jeg mener. Lad A=16 og B=4. Hvad er så det mindste positive element k i T = {16m+4n}, m,n E Z ? D.v.s. hvad er det mindste positive tal c så den Diophantiske ligning

16m + 4n = c (*)

har løsninger? Da sfd(A,B)=4 ved vi at (*) kun har løsninger såfremt c er et mulitplum af sfd(16,4). Altså må det søgte mindste element være k=4. Men vi kan skrive

k = 1*16 + (-3)*4 = 4

hvor (m,n) = (1,-3). Men her er k > m hvilket ikke var hvad vi håbede på.