Matematik
Kongruens
09. september 2007 af
math-freak++ (Slettet)
Hvordan viser jeg, at et helt tal, der er == 3 mod 4, har en primfaktor, der er == 3 mod 4?
Hvordan viser jeg at der er uendelig mange primtal, der er == 3 mod 4. (Her tænkte jeg på at anvende Euklids bevis for 4p1p2...pn -1. )
Hvordan viser jeg at der er uendelig mange primtal, der er == 3 mod 4. (Her tænkte jeg på at anvende Euklids bevis for 4p1p2...pn -1. )
Svar #1
09. september 2007 af sheaf (Slettet)
Lad p være et ulige primtal. Overvej dernæstfølgende spørgsmål i nævnte rækkefølge:
1. Hvilke værdier kan p mod 4 antage ?
2. Hvilke værdier kan p² mod 4 antage ?
Vis dernæst - under anvendelse af ovenstående - at der findes uendeligt mange primtal kongruente med 3 mod 4 ved en variation af Euklids metode:
Antag at p_1,..,p_n er en endelig følge af primtal, hvor hvert p_i == 3 (mod 4). Dan tallet
N = (p_1*p_2*...*p_n)² + 2
3. Hvad er N (mod 4) ?
4. Hvad er N (mod p_n) ?
Vis at N nødvendigvis må have en primfaktor p kongruent med 3 mod 4 (ved at overveje om det er muligt at alle primfaktorer er kongruente med 1 (mod 4) - j.v.f. (1)). Slut derudfra at lader vi p_(n+1) = p fås et primtal p == 3 (mod 4) som ikke er i følgen p_1,...,p_n.
1. Hvilke værdier kan p mod 4 antage ?
2. Hvilke værdier kan p² mod 4 antage ?
Vis dernæst - under anvendelse af ovenstående - at der findes uendeligt mange primtal kongruente med 3 mod 4 ved en variation af Euklids metode:
Antag at p_1,..,p_n er en endelig følge af primtal, hvor hvert p_i == 3 (mod 4). Dan tallet
N = (p_1*p_2*...*p_n)² + 2
3. Hvad er N (mod 4) ?
4. Hvad er N (mod p_n) ?
Vis at N nødvendigvis må have en primfaktor p kongruent med 3 mod 4 (ved at overveje om det er muligt at alle primfaktorer er kongruente med 1 (mod 4) - j.v.f. (1)). Slut derudfra at lader vi p_(n+1) = p fås et primtal p == 3 (mod 4) som ikke er i følgen p_1,...,p_n.
Skriv et svar til: Kongruens
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.