Matematik
Hjælp til diff-ligninger
20. maj 2004 af
trd (Slettet)
Hey hey..
Jeg sidder her og læser op til skf. matematik i morgen og nu er jeg løbet ind i et stort problem - jeg har ikke rigtig styr på differebtialligninger..så nu sender jeg to eksempler og håber at der er en eller anden der kan komme med en løsning og forklaring på hvordan man laver dem.
Eks. 1 (3.085 i eks.opg. for 1-årig mat A):
I en sø er fosforkoncentrationen (målt i mg/m^3) en funktion f af tiden t (målt i døgn. I en model forudsættes det, at der pr. døgn udledes en konstant mængde fosfor i søen. I denne model er f den løsning til diffferentialligningen
du/dt= 0,001(200-u) , u
der opfylder, at f(475) = 107
Bestem en forskrift for f, og beregn f(1000)
I en prognose forudsættes det, at fosforudledningen i søen kan bringes til ophør, når t=1000. I tidsrummet t=1000 kan fosforkoncentrationen beskrives ved den fundne løsning ovenfor. I tidsrummet efter t=1000 kan fosforkoncentrationen beskrives ved den løsning g til differentialligningen
dy/dt=-0,001y
som opfylder, at g(1000)=f(1000)
Til hvilket tidspunkt er fosforkoncentrationen ifølge prognosen nået ned på 10 mg/m^3?
Eks. 2: (3.088 i samme)
I en model af bakteriesygdommes udbredelse går man ud fra, at den funktion I(t), der angiver antallet af smittede til tiden t ( målt i uger), er løsningen til en differentialligning af formen
dI/dt= I(rN-k-rI)
hvor N, r og k er konstanter. N er befolkningens størrelse, og r og k afhænger af sygdommens smitsomhed og infektionens varighed.
I en bestem situation er
N= 5*10^6
r= 2*10^-6
k=8
Det oplyses indvidere, at antallet af smittede til tidspunktet t = 0 er 10^4
Bestem en forskrift for I
Bestem den øvre grænse for antallet af smittede.
Bestem det tidspunkt, hvor 10% af befolkningen er blevet smittet.
Håber der er hjælp at hente herude selvom det er en helligdag..
På forhånd tak..
Jeg sidder her og læser op til skf. matematik i morgen og nu er jeg løbet ind i et stort problem - jeg har ikke rigtig styr på differebtialligninger..så nu sender jeg to eksempler og håber at der er en eller anden der kan komme med en løsning og forklaring på hvordan man laver dem.
Eks. 1 (3.085 i eks.opg. for 1-årig mat A):
I en sø er fosforkoncentrationen (målt i mg/m^3) en funktion f af tiden t (målt i døgn. I en model forudsættes det, at der pr. døgn udledes en konstant mængde fosfor i søen. I denne model er f den løsning til diffferentialligningen
du/dt= 0,001(200-u) , u
der opfylder, at f(475) = 107
Bestem en forskrift for f, og beregn f(1000)
I en prognose forudsættes det, at fosforudledningen i søen kan bringes til ophør, når t=1000. I tidsrummet t=1000 kan fosforkoncentrationen beskrives ved den fundne løsning ovenfor. I tidsrummet efter t=1000 kan fosforkoncentrationen beskrives ved den løsning g til differentialligningen
dy/dt=-0,001y
som opfylder, at g(1000)=f(1000)
Til hvilket tidspunkt er fosforkoncentrationen ifølge prognosen nået ned på 10 mg/m^3?
Eks. 2: (3.088 i samme)
I en model af bakteriesygdommes udbredelse går man ud fra, at den funktion I(t), der angiver antallet af smittede til tiden t ( målt i uger), er løsningen til en differentialligning af formen
dI/dt= I(rN-k-rI)
hvor N, r og k er konstanter. N er befolkningens størrelse, og r og k afhænger af sygdommens smitsomhed og infektionens varighed.
I en bestem situation er
N= 5*10^6
r= 2*10^-6
k=8
Det oplyses indvidere, at antallet af smittede til tidspunktet t = 0 er 10^4
Bestem en forskrift for I
Bestem den øvre grænse for antallet af smittede.
Bestem det tidspunkt, hvor 10% af befolkningen er blevet smittet.
Håber der er hjælp at hente herude selvom det er en helligdag..
På forhånd tak..
Svar #1
20. maj 2004 af riquelme (Slettet)
1) Ved seperation af variable kan du finde ud af, at
f(t) = 200 + Ce^(-0.001t)
hvor C er en vilkårlig konstant. Nu mangler du så, at finde C. Men da det oplyses, at f(475) = 107 er det bare et spørgsmål om at løse ligningen
200 + Ce^(-0.001·475) = 107.
Herefter skal du løse differentialligningen dy/dt = -0.001y. Løsningen kan findes ved seperation, men det forventes nok at du kender den på forhånd. Løsningen er
g(t) = Ce^(-0.001t)
C findes ligesom før ved at løse ligningen g(1000) = f(1000).
2) Her er der tale om en såkaldt logistisk differentialligning. Løsningen kan også findes ved seperation, men her forventes det bare at du skal slå op i den bog og finde løsningsformlen som er
y = M/(1 + Ce^(-aMt)).
C er en vilkårlig konstant og hvad a og M er kan du finde i din bog... Herefter er det bare at sætte de opgivne tal ind.
f(t) = 200 + Ce^(-0.001t)
hvor C er en vilkårlig konstant. Nu mangler du så, at finde C. Men da det oplyses, at f(475) = 107 er det bare et spørgsmål om at løse ligningen
200 + Ce^(-0.001·475) = 107.
Herefter skal du løse differentialligningen dy/dt = -0.001y. Løsningen kan findes ved seperation, men det forventes nok at du kender den på forhånd. Løsningen er
g(t) = Ce^(-0.001t)
C findes ligesom før ved at løse ligningen g(1000) = f(1000).
2) Her er der tale om en såkaldt logistisk differentialligning. Løsningen kan også findes ved seperation, men her forventes det bare at du skal slå op i den bog og finde løsningsformlen som er
y = M/(1 + Ce^(-aMt)).
C er en vilkårlig konstant og hvad a og M er kan du finde i din bog... Herefter er det bare at sætte de opgivne tal ind.
Skriv et svar til: Hjælp til diff-ligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.