mængdelære

I tilfælde så enkle som disse er det som regel blot en øvelse i anvendelse af de grundlæggende egenskaber ved topologiske rum. Specielt at komplementet til en åben mængde er lukket og vice versa.

I det nævnte tilfælde kan du starte med at notere dig, at hvis F1 og F2 er lukkede delmængder af et topologisk rum X, så er X\F1 og X\F2 begge åbne i X. Da enhver forening af åbne mængder i X er åben [eet af aksiomerne gældende for ethvert topologisk rum] er X\F1 U X\F2 åben i X. Defor er komplementet X\(X\F1 U X\F2) lukket i X. Ifølge enn af De Morgan's regler er X\(X\F1 U X\F2) = X\(X\F1) n X\(X\F2) = F1 n F2 hvilket viser det ønskede.

Bemærk at begreberne åbne og lukkede mængder er relative begreber. Det giver ikke mening at tale om åbne lukkede mængder uden at specificere hvilken topologi, der er tale om. En mængde, der er åben i een topologi, kan være lukket, åben, begge dele eller ingen af delene i en anden topologi. Eneste undtagelser er Ø og X som altid er elementer i topologien. De er derfor altid åbne og det er ikke nødvendigt at angive i forhold til hvilken topologi de er åbne.