Matematik

Niveaukurve og gradient

15. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

På nedenstående billede er niveaukurven for en funktion f(x,y).

I punktet A er gradienten lig 0 - hvorfor er den det?

Desværre er det meget sparsomt med sammenhængen mellem gradient og niveaukurve i min bog.

http://peecee.dk/?id=73135

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. oktober 2007 af peter lind

Fordi kurven har 4 "retninger" i A. Hvis du bevæger sig langs en niveaukurve er funktionen konstant. I A kan du gå ud i 4 retninger uden at funktionen ændrer sig. His f er differentiabel, kan det kun lade sig gøre hvis begge de partielle afledede er 0.

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. oktober 2007 af Riemann

En anden måde at anskue problemet på:

Hvis gradienten er forskellig fra 0-vektoren er gradienten vinkelret på niveaukurven (hvorvidt man siger om den er vinkelret på når den er 0-vektoren er et definitionsspørgsmål).

Men alt efter hvordan man nærmer sig punktet A er der to forskellig retninger der er vinkelret på niveaukurven. Derfor må gradienten nødvendigvis være 0 i A - ellers ville man have en modstrid.

Svar #3
15. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

I punktet C er den (0,1) - kan I forklare det?

Er der en mere generel måde at forklare problemstillingen på?

Svar #4
15. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

Ang. nr. 2:

I punktet C er den vinkelret, og i vores tilfælde horisontal - hvorfor er y-komponenten så ikke 0?

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. oktober 2007 af Riemann

#3
Du kan ikke være sikker på at den er (0,1), men den vil være parallel med (0,1).

#4
Tangenten til niveaukurven er horisontal. Gradienten er derimod vertikal.

Argumentation for at gradienten er vinkelret på niveaukurven:

Tangenten til niveaukurven i et punkt (a,b), hvor gradienten ikke er 0, er givet ved

nabla f(x,y) \cdot ((x,y)-(a,b))

("nabla" betyder gradient... og \cdot betyder prikprodukt)

gradienten er derfor normalvektor, idet en generel ret linie har ligningen

c*(x-x0)+d(y-y0)=0

hvor (x0,y0) er et punkt på linien og (c,d) er normalvektor til den rette linie.

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. oktober 2007 af Riemann

Men prøv evt. at læs/genlæs afsnit 2.4.10 i Tore Kros noter - her beskrives emnet faktisk ganske godt...

(Tore Kros noter kan hentes her: http://www.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf )

Skriv et svar til: Niveaukurve og gradient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.