Meget svær opgave

Brug blot at logaritmefunktionerne er proportionale:

log_a(x) = log(x)/log(2)

Dermed er log_2(e) = log(e)/log(2) = 1/log(2) som også er integralets værdi.

Udnyt, at log[a](x)=log(x)/log(a) - prøv selv at bevise dette ved at tage udgangspunkt i at



I dette indlæg angiver "log" logaritmen med grundtal e.

hvad menes der lige med log_2(e)?

I øvrigt, er integralelet,
0
S 2^x dx
1

eller
1
S 2^x dx
0
?

#3 Der menes logaritmen med grundtallet 2 af e.
Det sidste integrale.

#4 aha, og her troede jeg, at der var tale om 10-tals logartimen(gym-stof)...

Den kan sikkert vises på mange måder, men jeg har gjort det på en jordnær måde:
Lad log_2 x = lg x.
Funktion y = 2^x er kontinuerlig og positiv, så c = S(0;1)2^xdx er et positivt, reelt tal.
Vi lader H være et hyperreelt tal, og vi skal dermed bevise, at
(1 + 1/H)^H (=) 2^c.

(Husk på at et hyperreelt tal H er infinitesimalt, hvis H er enten positivt - eller negativt infinitesimalt eller nul. (0 er hermed det eneste reelle tal, der er infinitesimalt.) H er positivt infinitesimalt, men mindre end ethvert positivt reelt tal. H er negativt infinitesimalt, når H er større end ethvert negativt reelt tal. H er altså kun infinitesimalt, når det er endeligt.)

Vi har, at lg[(1 + 1/H)^H] = H*lg(1 + 1/H), hvor vi lader
delta(x) = lg(1 + 1/H). Delta(x) er positivt infinitesimalt,
da delta(x) = lg1 = 0.
Vi får, at 2^delta(x) = 1 + 1/H <=> H = 1/(2^delta(x) - 1), hvilket giver os, at H * lg(1 + 1/H) = delta(x)/ (2^delta(x) - 1).

Det giver os den geometriske serie: SUM(0;1)2^x delta(x)
= (1 + 2^delta(x) + 2^(2*delta(x)) + ... + 2^((K-1)*delta(x)) )*delta(x), hvor K*delta(x) = 1.

SUM(0;1)2^x delta(x) konvergerer mod (2^(K*delta(x)) - 1) *delta(x) / (2^delta(x) - 1) = (2 - 1) * delta(x) / (2^delta(x) - 1)
= delta(x) / (2^delta(x) - 1) = H * lg(1 + 1/H), hvilket jo netop medfører, at c (=) H*lg(1 + 1/H) <=> 2^c (=) (1 + 1/H)^H.

#6 Mange tak! Jeg vil prøve at forstå det senere, fordi det virker ikke "jordnært" for mig :)