Matematik

Vektorer i rummet

10. november 2007 af kaspx (Slettet)

Jeg har problemer med at løse følgende opgave:

Givet punkterne A(1,1,6), B(-1,-1,-2), C(2,-4,4) og D(0,-2,0). Vis at alle punkterne ligger i samme plan.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. november 2007 af TheCokeGuy (Slettet)

Du kan danne en funktion z(x, y) for et plan ud fra f.eks. A, B og C... Indsætter du x og y fra D og resultatet bliver D's z. Så er det bevist.

Er det nok?

Svar #2
10. november 2007 af kaspx (Slettet)

Jeg er ikke helt sikker. Kan du uddybe?

Kan opstille en parameterfremstilling for et plan, hvorpå der ligger 3 punkter. Det gør jeg ved at lade de to vektorer, dannet af de tre punkter, udspænde et plan. Denne fremgangsmåde kan jeg dog ikke helt få til at virke når jeg har 4 punkter.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2007 af TheCokeGuy (Slettet)

Jeg er lidt rusten i formlerne... Kan du lige poste en parameterfremstilling af planet for A, B og C?

Så skal jeg lige se på det

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. november 2007 af TheCokeGuy (Slettet)

Du skulle vel ikke have MathCAD?

Svar #5
10. november 2007 af kaspx (Slettet)

Jeg har desværre ikke MathCAD.

Ved den føromtalte parameterfremstilling laver jeg først vektorerne AB og AC. Herefter udfører jeg AB x AC og får derved normalvektoren for planet.

Herefter indsætter jeg blot i ligningen:

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

Hvor a, b og c er normalvektorens koordinator og x0, y0, z0 er et af de tre punkter.

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

A(1,1,6), B(-1,-1,-2), C(2,-4,4) og D(0,-2,0).

Udregn V1 = A - B = (2,2,8) og V2 = A - C = (-1,5,2)

Vha. disse to og krydsproduktet, kan du finde en normalvektor N1 = (n1,n2,n3) til dit plan:

n1 = 2*2-8*5 = -36

n2 = -2*2+8*(-1) = -12

n3 = 2*5-2*(-1) = 12

Dvs. N1 = (-36,-12,12). Du kan evt. skalere denne vektor og ændre fortegn, så du får

N = N1/(-12) = (3,1,-1) = (a,b,c), som er lidt pænere.

Med V1 og V2 kan alle vektorer i din plan skrives som:

A + x*V1 + y*V2

Ser du nu på prikproduktet mellem N og en sådan vektor, giver det:

N*(A + x*V1 + y*V2) = N*A + N*x*V1 + N*y*V2

men da N står vinkelret på planen, er den vinkelret på de to vektorer, V1 og V2, som udspænder den. Derfor giver de sidste to led 0. Dette leder os frem til, at dit plan kan skrives på ligningen:

(a,b,c)*(x,y,z) = k, hvor k=N*A

Da N*A = -2 skal du altså tjekke, at

(a,b,c)*D = -2

dvs.

(3,1,-1)*(0,-2,0) = -2

Og det ser ud til at passe...

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

#5
Det ser fornuftigt ud. Når du har parameterfremstillingen, kan du blot sætte D's koordinater ind på x, y og z's plads og tjekker, at det giver 0! Det svarer til det, jeg har gjort - din notation er bare enklere!

Svar #8
10. november 2007 af kaspx (Slettet)

Mange tak for hjælpen, det var et super svar :) Glæder mig også, at mon egen løsning kan bruges - regner det lige igennem på begge måder.

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. november 2007 af TheCokeGuy (Slettet)

Så er det jo godt der er opfundet pdf ;)

jeg har løst den sådan:
http://www.totalgal.dk/help/opgave001.pdf

Svar #10
10. november 2007 af kaspx (Slettet)

Også tak til dig :) Det ser interessant ud, men jeg er vist nødt til lige at sætte mig lidt ind i mathcads notation for at forstå det helt til bunds.

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. november 2007 af TheCokeGuy (Slettet)

Det er bare i orden ;)

Skriv et svar til: Vektorer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.