Matematik
Bevis for brøkreglen for differentiation
13. november 2007 af
HenningPR (Slettet)
Hej.
Jeg har fået til opgave at skulle bevise brøkreglen for differentiation. Opgaven går ud på at du får beviset, hvorefter du så skal beskrive det enkelte trin ved hjælp af tekst. Jeg skal således forklare hvorfor hvert trin er gyldigt og lovligt.
Nogen der er frisk på en lille udfordring?
Der gåes frem efter 3-trinsreglen:
i punktet x0. Det forudsættes, at f og g begge er differentiable i x0, og at
I – Funktionstilvæksten udregnes.
dy = (1/g(x0+h))-(1/g(x0))
= (g(x0)-g(x0+h))/(g(x0+h)*g(x0))
= -(g(x0+h)-g(x0))/(g(x0+h)*g(x0))
II – Omskrivning af differenskvotient.
dy/h = -(g(x0+h)-g(x0))/(g(x0+h)*g(x0)*h)
= -(1/(g(x0+h)*g(x0)))*((g(x0+h)-g(x0))/(h))
III – Vi lader h gå mod 0 og undersøger, om differenskvotienten har en grænseværdi.
dy/h =(1/(g(x0)*g(x0)))*g'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2) for h gående mod nul.
Dermed har vi fundet differentialkvotienten
(1/g)'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2)
På forhånd tak !
- Henning
Jeg har fået til opgave at skulle bevise brøkreglen for differentiation. Opgaven går ud på at du får beviset, hvorefter du så skal beskrive det enkelte trin ved hjælp af tekst. Jeg skal således forklare hvorfor hvert trin er gyldigt og lovligt.
Nogen der er frisk på en lille udfordring?
Der gåes frem efter 3-trinsreglen:
i punktet x0. Det forudsættes, at f og g begge er differentiable i x0, og at
I – Funktionstilvæksten udregnes.
dy = (1/g(x0+h))-(1/g(x0))
= (g(x0)-g(x0+h))/(g(x0+h)*g(x0))
= -(g(x0+h)-g(x0))/(g(x0+h)*g(x0))
II – Omskrivning af differenskvotient.
dy/h = -(g(x0+h)-g(x0))/(g(x0+h)*g(x0)*h)
= -(1/(g(x0+h)*g(x0)))*((g(x0+h)-g(x0))/(h))
III – Vi lader h gå mod 0 og undersøger, om differenskvotienten har en grænseværdi.
dy/h =(1/(g(x0)*g(x0)))*g'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2) for h gående mod nul.
Dermed har vi fundet differentialkvotienten
(1/g)'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2)
På forhånd tak !
- Henning
Svar #1
14. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
I
* første lighedstegn er definitionen, men forudsætter, at g(x0) og g(x0+h) ikke er nul
* andet lighedstegn er brøkregneregler, hvor man bringer på fælles nævner
tredje lighedstegn skyldes blot omskrivningen a-b = -(b-a)
? Er det med vilje, at du bruger dy for delta y ?
Den betydning, man normalt tillægger dy, gør, at det ikke giver mening at tale om den uden at den indgår i en brøk såsom dy/dx. Både dy og dx i denne brøk er på sin vis 0, men da dette ikke giver mening, taler man i stedet om, at brøken dy/dx er grænseværdien for brøken (delta y)/(delta x), hvor delta x ikke på noget tidspunkt er 0, men går mod 0
II
* første lighedstegn er stort set ren indsættelse, men en enkelt brøkregneregel sørger for, at h bliver multipliceret i nævneren
* andet lighedstegn er også brøkregneregler, idet a/(b*c) = 1*a/(b*c) = 1/b*(a/c), fordi man altid kan gange med 1, og fordi man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner
III
Her skal du skelne skarpt mellem at "gå mod" grænsen og at have nået den. Der bør stå:
dy/h går mod -(1/(g(x0)*g(x0)))*g'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2) for h gående mod nul (du havde glemt et minus i første udtryk)
Her skal du argumentere for, at g(x) skal være kontinuert omkring x0, for konklusionen udnytter netop, at g(x0+h) går mod g(x0) når h går mod nul, hvilket kun er sandt, hvis g er kontinuert der.
Desuden bør du atter bemærke, at h nærmer sig nul på en måde, hvor g(x0+h) ikke på noget tidspunkt er nul! Division med nul er forbudt.
Håber svaret kan bruges!
* første lighedstegn er definitionen, men forudsætter, at g(x0) og g(x0+h) ikke er nul
* andet lighedstegn er brøkregneregler, hvor man bringer på fælles nævner
tredje lighedstegn skyldes blot omskrivningen a-b = -(b-a)
? Er det med vilje, at du bruger dy for delta y ?
Den betydning, man normalt tillægger dy, gør, at det ikke giver mening at tale om den uden at den indgår i en brøk såsom dy/dx. Både dy og dx i denne brøk er på sin vis 0, men da dette ikke giver mening, taler man i stedet om, at brøken dy/dx er grænseværdien for brøken (delta y)/(delta x), hvor delta x ikke på noget tidspunkt er 0, men går mod 0
II
* første lighedstegn er stort set ren indsættelse, men en enkelt brøkregneregel sørger for, at h bliver multipliceret i nævneren
* andet lighedstegn er også brøkregneregler, idet a/(b*c) = 1*a/(b*c) = 1/b*(a/c), fordi man altid kan gange med 1, og fordi man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner
III
Her skal du skelne skarpt mellem at "gå mod" grænsen og at have nået den. Der bør stå:
dy/h går mod -(1/(g(x0)*g(x0)))*g'(x0) = (-g'(x0))/(g(x0)^2) for h gående mod nul (du havde glemt et minus i første udtryk)
Her skal du argumentere for, at g(x) skal være kontinuert omkring x0, for konklusionen udnytter netop, at g(x0+h) går mod g(x0) når h går mod nul, hvilket kun er sandt, hvis g er kontinuert der.
Desuden bør du atter bemærke, at h nærmer sig nul på en måde, hvor g(x0+h) ikke på noget tidspunkt er nul! Division med nul er forbudt.
Håber svaret kan bruges!
Skriv et svar til: Bevis for brøkreglen for differentiation
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.