Matematik
Sandsynlighedsproblem
15. november 2007 af
stræber-pigen (Slettet)
En ærlig mønt kastes igen og igen indtil man har set enten to plat eller to krone i træk. Antag ligeledes, at kastene er uafhængige. Lad X betegne antallet af kast der foretages og bemærk at X kan antage værdierne 2,3,... .
Beregn P(X=x) for n=2,3,... (Du kan eventuelt nøjes med at se på tilfældene n = 2,3,4, hvis du ikke kan finde den generelle formel.)
Vink: Start evt. med at beregne P(X = 2) og P(X=3), så kan du se systemet. Lad B betegne hændelsen ”plat” der åltså har sandsynligheden ½. Overvej at {X=2} = (BB) U (B^C B^C). Her angiver BB åltså hændelsen ”plat i 1. kast og plat i andet kast”.
Løsning:
hvad gør jeg??
Beregn P(X=x) for n=2,3,... (Du kan eventuelt nøjes med at se på tilfældene n = 2,3,4, hvis du ikke kan finde den generelle formel.)
Vink: Start evt. med at beregne P(X = 2) og P(X=3), så kan du se systemet. Lad B betegne hændelsen ”plat” der åltså har sandsynligheden ½. Overvej at {X=2} = (BB) U (B^C B^C). Her angiver BB åltså hændelsen ”plat i 1. kast og plat i andet kast”.
Løsning:
hvad gør jeg??
Svar #1
15. november 2007 af peter lind
Hvis du udfaldet X=n betyder det at alle de foregående kast har været skiftevis plat og krone altså enten plat, krone, plat, krone o.s.v eller krone, plat, krone o.s.v.. Overvej lige hvad sandsynligheden er for at du efter et antal kast får det samme som det foregående eller ej.
Svar #2
16. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Lad os bruge betegnelsen P for plat og K for krone. Dette er et binært system, så ved n kast med mønten er der 2^n forskellige udfald. Lad os vedtage konventionen, at PKPKPKPP betyder skiftevis P og K de første seks kast, og derpå to plat i træk i 7. og 8. kast. Vi læser med andre ord fra venstre mod højre.
Mængden af gunstige udfald ved to kast er: {X=2} = {PP}U{KK}, som du nævner i teksten. Der er 2^2 = 4 mulige udfald. Derfor bliver P(X=2) = 2/4 = ½.
Nu er det, som peter er inde på, sådan, at for at X=n, så skal de første n-1 kast være skiftevis plat og krone, mens det sidste kast gentager det næstsidste.
Hvis vi kender det første kast i kastserien, er det helt fastlagt, hvad der skal ske de første n-1 kast... Udfaldene er tvunget til at skifte, så derfor er der kun én gunstig kombination.
Ligeledes er det helt fastlagt, hvad det sidste kast skal være, da det SKAL gentage det næstsidste, for at udfaldet er gunstigt!
Konklusion: Hvis man kender det første kast, er det fuldstændig fastlagt, hvad resten af kastserien skal være. Da der er to mulige udfald for det første kast, er der altså kun to gunstige udfald, dvs. mængden {X=n} indeholder to elementer for ethvert n >= 2.
Eksempel for n=7:
1. givet at første kast er P, MÅ serien være PKPKPKK
2. givet at første kast er K, MÅ serien være KPKPKPP
Altså altid 2 gunstige udfald.
Den generelle formel bliver altså:
P(X=n) = 2/2^n = 2^(1-n)
Man kan endvidere når frem til, at:
P(X>n) = P(X=n)
Mængden af gunstige udfald ved to kast er: {X=2} = {PP}U{KK}, som du nævner i teksten. Der er 2^2 = 4 mulige udfald. Derfor bliver P(X=2) = 2/4 = ½.
Nu er det, som peter er inde på, sådan, at for at X=n, så skal de første n-1 kast være skiftevis plat og krone, mens det sidste kast gentager det næstsidste.
Hvis vi kender det første kast i kastserien, er det helt fastlagt, hvad der skal ske de første n-1 kast... Udfaldene er tvunget til at skifte, så derfor er der kun én gunstig kombination.
Ligeledes er det helt fastlagt, hvad det sidste kast skal være, da det SKAL gentage det næstsidste, for at udfaldet er gunstigt!
Konklusion: Hvis man kender det første kast, er det fuldstændig fastlagt, hvad resten af kastserien skal være. Da der er to mulige udfald for det første kast, er der altså kun to gunstige udfald, dvs. mængden {X=n} indeholder to elementer for ethvert n >= 2.
Eksempel for n=7:
1. givet at første kast er P, MÅ serien være PKPKPKK
2. givet at første kast er K, MÅ serien være KPKPKPP
Altså altid 2 gunstige udfald.
Den generelle formel bliver altså:
P(X=n) = 2/2^n = 2^(1-n)
Man kan endvidere når frem til, at:
P(X>n) = P(X=n)
Skriv et svar til: Sandsynlighedsproblem
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.