Matematik
4-cifret talpalindrom
29. november 2007 af
bjering (Slettet)
Jeg fik tilsendt et spørgsmål om og hvorfor 4-cifrede tal-palindromer (dvs. tal som er ens forfra og bagfra, f.eks. 5445) alle går op i 11. Jeg gav nedenstående svar og ville høre om nogen af jer har et nemmere og smukkere svar på spørgsmålet.
Kasper
----------------------------------
Lad a være et ciffer fra 1 til 9 og lad b være et ciffer fra 0 til 9. Da kan ethvert firecifret palindrom skrives på formen abba (bemærk at a ikke kan ikke være 0, da tallet så bliver tre-cifret).
Tallet kan trivielt omskrives til sumformen:
abba = bb0 + a00a
(f.eks. 4554 = 550 + 4004)
Hvis vi deler med 11 fås nu:
abba/11 = bb0/11 + a00a/11
Hvis vi kan vise at begge led i summen til højre giver et helt tal, har vi løst problemet.
Trivielt gælder at bb0/11 = b0
(f.eks. 660/11 = 60).
Det ses også at hvis vi tillod a = 0, ville vi få abba = bb0, som altså går op i 11.
Vi undersøger nu om tallet a00a går op i 11. Hvis det gør, skal også a00a - 11 gå op i 11. Vi indser nu at der (trivielt?) gælder:
a00a - 11 = (a-1)99(a-1)
(f.eks. 4004 - 11 = 3993).
Dette er jo også et palindrom, som går op i 11 netop hvis der gælder at (a-1)00(a-1) går op i 11. På tilsvarende vis ved vi, at det gør det netop hvis (a-1)00(a-1) - 11 gør det. Der gælder igen:
(a-1)00(a-1) - 11 = (a-2)99(a-2)
Hvis vi gentager denne metode a gange, slutter vi med tallet (a-a)99(a-a) = 990, som vi jo allerede har vist går op i 11 (da det er et konkret tilfælde af formen bb0, med b = 9).
Dermed har vi vist at tallet a00a er deleligt med 11 og dermed at alle tal på formen abba er delelige med 11.
Kasper
----------------------------------
Lad a være et ciffer fra 1 til 9 og lad b være et ciffer fra 0 til 9. Da kan ethvert firecifret palindrom skrives på formen abba (bemærk at a ikke kan ikke være 0, da tallet så bliver tre-cifret).
Tallet kan trivielt omskrives til sumformen:
abba = bb0 + a00a
(f.eks. 4554 = 550 + 4004)
Hvis vi deler med 11 fås nu:
abba/11 = bb0/11 + a00a/11
Hvis vi kan vise at begge led i summen til højre giver et helt tal, har vi løst problemet.
Trivielt gælder at bb0/11 = b0
(f.eks. 660/11 = 60).
Det ses også at hvis vi tillod a = 0, ville vi få abba = bb0, som altså går op i 11.
Vi undersøger nu om tallet a00a går op i 11. Hvis det gør, skal også a00a - 11 gå op i 11. Vi indser nu at der (trivielt?) gælder:
a00a - 11 = (a-1)99(a-1)
(f.eks. 4004 - 11 = 3993).
Dette er jo også et palindrom, som går op i 11 netop hvis der gælder at (a-1)00(a-1) går op i 11. På tilsvarende vis ved vi, at det gør det netop hvis (a-1)00(a-1) - 11 gør det. Der gælder igen:
(a-1)00(a-1) - 11 = (a-2)99(a-2)
Hvis vi gentager denne metode a gange, slutter vi med tallet (a-a)99(a-a) = 990, som vi jo allerede har vist går op i 11 (da det er et konkret tilfælde af formen bb0, med b = 9).
Dermed har vi vist at tallet a00a er deleligt med 11 og dermed at alle tal på formen abba er delelige med 11.
Svar #1
29. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Hvis man bruger restklasser, bliver det måske nok enklere... Tallet abba, som du omtaler kan skrives som følger:
a*1 + b*10 + b*100 + a*1000,
og da 1 har rest 1, 10 har rest -1, 100 har rest 1 og 1000 har rest -1 efter division med 11, kan dette omskrives til:
a*1 + b*(11-1) + b*(9*11+1) + a*(91*11-1),
hvor man nu ser, at cifrene a og b generelt bliver ganget med 11 på nær de steder, hvor de bliver ganget med hhv. + og -1. Da +a fra første led går ud med -a fra sidste led, og + og -b går ud med hinanden i de to midterste led, forsvinder de dele af udtrykket, der ikke bliver ganget med 11.
a*1 + b*10 + b*100 + a*1000,
og da 1 har rest 1, 10 har rest -1, 100 har rest 1 og 1000 har rest -1 efter division med 11, kan dette omskrives til:
a*1 + b*(11-1) + b*(9*11+1) + a*(91*11-1),
hvor man nu ser, at cifrene a og b generelt bliver ganget med 11 på nær de steder, hvor de bliver ganget med hhv. + og -1. Da +a fra første led går ud med -a fra sidste led, og + og -b går ud med hinanden i de to midterste led, forsvinder de dele af udtrykket, der ikke bliver ganget med 11.
Svar #2
29. november 2007 af bjering (Slettet)
Yes - det var hvad jeg kalder et smukt svar... specielt kan man vel så bemærke i forhold til at sammenholde med min løsning (hvis man skal se sammenhængen):
a*1 + b*(11-1) + b*(9*11+1) + a*(91*11-1) =
a*1 + b*11 - b*1 + b*99 + b*1 + a*1001 - a*1=
b*110 + a*1001 = bb0 + a00a = abba
KBJ
a*1 + b*(11-1) + b*(9*11+1) + a*(91*11-1) =
a*1 + b*11 - b*1 + b*99 + b*1 + a*1001 - a*1=
b*110 + a*1001 = bb0 + a00a = abba
KBJ
Skriv et svar til: 4-cifret talpalindrom
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.