Gradient

Der findes et bevis på, at hvis f(x,y) er differentiabel i punktet (a,b) for eksempel, og nabla f = f_1(x,y)*i + f_2(x,y)*j, den første afledede af vektorfunktionen, så er gradientvektoren en normal til niveaukurven af f, der passerer gennem a og b. Den vinkelrette egenskab er altså ikke en tilfældighed. Beviset går på at betragte vinklen (theta) mellem en sekant til kurven, der går over i tangenten og så se på grænseværdier, altså man srarter ved:
cos(theta)= (nablaf(a,b) prik (h*i+k*j)/(nabla f, numerisk)*sqr(h^2+k^2), og så tage den derfra.
Er der n variable så nabla f(x_1,x_2,x_3,...,x_n), så taler man om en "niveau overflade", altså ikke en rigtig overflade men en pseudooverflade, som vektoren er normal til. Det er en såkaldt hyperoverflade med ligningen f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = f (P_0).
Man fører egentlig bare tanken videre fra tre dimentioner til n dimensioner.
Teorien og beviserne er ret så omfattende, så det kan jeg ikke hjælpe dig med her.

Jo, men hvis gradienten står vinkelret på en niveaukurve af f til punktet P, vil det så ikke betyde at den er parallel med xy-planen? Og hvis det er tilfældet, hvordan kan man så konkludere at den også står vinkelret på tangentplanen i P?

#2 Så behøves den ikke at være parallel med xy-planen. Det er en forkert tanke.

#1 Erik, jeg troede ikke at du hjælp med det naturvidenskabelige? :)