Matematik

Differentielligning

13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

På grund af det varme vejr i sommermånederne vokser mængden af alger i dammen. Det viser sig at mængden M af alger i juli måned opfylder differentielligningen:
d(M)/d(t) = M(0.12-0.00053M)

Hvor algemængden er målt i mm3/l og t måles i døgn. t = 0 svarer til den 1. juli.

Bestem mængden M(t) af alger i dammen i juli måned som funktion af tiden, når man får at vide, at der den 1. juli var en koncentration på 14 mm3/l.

Jeg har prøvet men kan slet ik finde ud af det. Nogen der vil hjælpe med at vise den trin for trin?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. januar 2008 af Christina_Jensen (Slettet)

Du skal starte med at finde et udtryk for N(t).
Der er tale om en logistisk vækst y'=y(b-ay), og til den kender du vel en løsningsformel?
Ellers kan jeg oplyse dig den: y=(b/a)/(1+c^(-b*x))
Og så ved du, at N(1)=14

Kan du selv komme videre derfra?

Svar #2
13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

Hvordan finder jeg et udtryk for M(t)?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. januar 2008 af Mestertyv (Slettet)

Ved at sætte hhv. b og a ind i løsningformlen som #1 skrev og derefter isolere c.

Dog skal du være opmærksom på at N(0) = 14 og ikke N(1) = 14 som #1 også skriver.

Svar #4
13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

Hvad er x?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. januar 2008 af Mestertyv (Slettet)

x'et skulle have været et t i stedet for.

Svar #6
13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

Bliver det 0=(226.42 * 1/M) -1
??

Det ser helt forkeert ud..

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. januar 2008 af Mestertyv (Slettet)

Du indsætter a og b i udtrykket:

y=(0.12/0.00053)/(1+c^(-0.12*t))

Det vides at M(0) = 14

14 = (0.12/0.00053)/(1+c^(-0.12*0))

Så isolerer du c i ovenstående ligning.

Svar #8
13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

Nu får jeg c = 15.173^(-8.33*1/t)

Men hvad udtrykker c?

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. januar 2008 af Mestertyv (Slettet)

c er bare en konstant.

Du ved, ligesom du får en integrationskonstant k, når du integrerer.

du indsætter bare c's værdi på c's plads i ligningen og så har du den partikulære løsning til differentialligningen.

Svar #10
13. januar 2008 af Christina_l (Slettet)

Når jeg indsætter M=226.42/(1+c^-0.12t) får jeg 14. Så det må være i den rigtige retning. Men hvordan bestemmer jeg M(t) som funktion af tiden?

Skriv et svar til: Differentielligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.