Matematik
Bevis injektivitet?
08. februar 2008 af
tumle (Slettet)
Hej med jer alle,
Jeg sidder lige og knokler med en opgave som jeg tror jeg måske har fået løst, men jeg vil lige have jer til at kigge om man kan gøre det som jeg har gjort. Altså det jeg har siddet og knoklet med er at vise den er injektiv.
Opgaven:
Vis at sigma: R^2-->R^3 givet ved:
sigma(u,v)=(1-uv,u+v,v)
er en injektiv parametriseret flade.
Min løsning:
Det jeg skal vise er at sigma(u1,v1)=sigma(u2,v2)=>(u1,v1)=(u2,v2).
Jeg kan altså opstille de tre ligninger:
(i) 1-u1*v1=1-u2*v2
(ii) u1+v1=u2+v2
(iii) v1=v2
Da jeg har udsagnet v1=v2 kan jeg erstatte v1 med v2 i de to andre ligninger. Jeg starter med (i):
1-u1*v1=1-u2*v2 =>
1-u1*v2=1-u2*v2 <=>
u1*v2=u2*v2 <=>
u1=u2
Nu kan jeg så tage (ii):
u1+v1=u2+v1 =>
u1+v2=u2+v2 <=>
u1=u2+v2-v2 <=>
u1=u2
Jeg har altså nu at når v1=v2 så er u1=u2. Vi har derfor at sigma(u,v) er injektiv. Min løsning er slut.
Jeg ved ikke om dette er en korrekt måde at gøre det på, så gider i lige se på det og give en tilbagemelding, så ville jeg være super glad :o)
Rasmus
Jeg sidder lige og knokler med en opgave som jeg tror jeg måske har fået løst, men jeg vil lige have jer til at kigge om man kan gøre det som jeg har gjort. Altså det jeg har siddet og knoklet med er at vise den er injektiv.
Opgaven:
Vis at sigma: R^2-->R^3 givet ved:
sigma(u,v)=(1-uv,u+v,v)
er en injektiv parametriseret flade.
Min løsning:
Det jeg skal vise er at sigma(u1,v1)=sigma(u2,v2)=>(u1,v1)=(u2,v2).
Jeg kan altså opstille de tre ligninger:
(i) 1-u1*v1=1-u2*v2
(ii) u1+v1=u2+v2
(iii) v1=v2
Da jeg har udsagnet v1=v2 kan jeg erstatte v1 med v2 i de to andre ligninger. Jeg starter med (i):
1-u1*v1=1-u2*v2 =>
1-u1*v2=1-u2*v2 <=>
u1*v2=u2*v2 <=>
u1=u2
Nu kan jeg så tage (ii):
u1+v1=u2+v1 =>
u1+v2=u2+v2 <=>
u1=u2+v2-v2 <=>
u1=u2
Jeg har altså nu at når v1=v2 så er u1=u2. Vi har derfor at sigma(u,v) er injektiv. Min løsning er slut.
Jeg ved ikke om dette er en korrekt måde at gøre det på, så gider i lige se på det og give en tilbagemelding, så ville jeg være super glad :o)
Rasmus
Svar #1
08. februar 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Jeg ved heller ikke, om metoden er den konventionelle, men det fungerer! Jeg vil tro, man traditionelt "nøjes" med at konstatere, at jacobi-matricen for afbildningen er invertibel i ethvert punkt, men det kræver en sætningshenvisning, og jeg har ikke mine noter på mig indenfor emnet...
Svar #2
08. februar 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Korrektion: Jacobimatricen for en afbildning fra R^2 til R^3 kan ikke være invertibel. Hvad er det nu, det hedder... Matricen har fuld rang, er det ikke sådan, det hedder?
Skriv et svar til: Bevis injektivitet?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.