Matematik
vektorregning.
hvordan griber man denne opgave an?
I et koordinatsystem er en cirkel bestemt ved, at den har centrum i punktet C82,1) og at punktet P(5,-3) ligger på cirklen. Endvidere er der givet en linje l med parameterfremstillingen
(x,y) = (9,0) + t(-8,-6)
1) undersøg om l er en tangent til cirklen i punktet P.
2) lad Q betegne et vilkårligt punkt på linjen l.
Bestem de 2 værdier af t, der gør, at arealet af
trekant CPQ bliver 2572 = 12,5.
Jeg har et spørgsmål til 1). er det så noget med at man skal finde normalvektoren, altså tage tværvektoren af retningsvektoren og så opstille cirklens ligning ?
jeg er helt lost på dette punkt.
Svar #1
10. februar 2008 af Duffy
er (x,y)=(5,-3) , dvs linien l går gennem punktet P.
For en løsning til problemet skal du finde liniens ligning vha normalvektoren og et fast punkt på linien , fx (9,0).
Brug herefter sætningen om afstand fra punkt til linie til at vise at denne afstand netop er lig med cirklens radius som er 5.
At cirklens radius er 5 finde vha afstandsformlen ...
Svar #3
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
hvordan finder jeg liniens ligning vha. normalvektoren?
er normalvektoren ikke (-6;8) ?
Svar #4
10. februar 2008 af Duffy
Svar #5
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
-6(x-9) + 8(y-0)
bliver linien ligning så ikke:
-6x + 8y - 56 = 0 ?
Svar #7
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
er det så ikke sådan jeg skal gøre?
dist(P,l) = |6*9+8*0-54| / kvdrt(6^2+8^2 = 0,8
denne afstand er jo ikke lig med cirklens radius 5?
Svar #9
10. februar 2008 af Duffy
Du skal ikke sætte (9,0) ind. Dette punkt ligger ikke på cirkelperiferien.
Brug (2,1) cirklens centrum.
Svar #10
10. februar 2008 af mathon
i
l: (x,y) = (9,0) + t(-8,-6)
fås
3x-4y-27=0
dist[l,C(2,1)] = |3*2-4*1-27|/sqrt[3^2+(-4)^2]
er denne afstand lig med radius 5?
Svar #11
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
dist(P,l) = |-6*2+8*1-54|/kvdrt(6^2+8^2) = -5,8
ser det mere rigtigt ud?
Svar #12
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
Svar #13
10. februar 2008 af Duffy
opstår hvis du ganger med -½ på begge sider af lighedstegnet i
-6x + 8y - 54 = 0
Svar #15
10. februar 2008 af sophie_lg (Slettet)
Svar #16
10. februar 2008 af mathon
y = 0,75x-6,75
A = (1/2)*|CP|*|PQ| = 12,5
(1/2)*5*|PQ| = 12,5
|PQ| = 5
sqrt[(x-5)^2+(y-(-3))^2] = 5, hvoraf ved substitutionen y = 0,75x-6,75
fås
sqrt[(x-5)^2+(0,75x-6,75-(-3))^2] = 5, hvoraf
sqrt[1,5625(x-5)^2] = 5
1,25*|x-5| = 5
|x-5| = 5/1,25 = 4
x-5 = +-4
x1 = 5+4 = 9, hvoraf y1 = 0,75*9-6,75 = 0
x2 = 5-4 = 1, hvoraf y2 = 0,75*1-6,75 = -6
de søgte punkter er
Q1(9,0) og Q2(1,-6)
Svar #18
10. februar 2008 af mathon
linjen l er udtrykt på
3 former:
1) l: (x,y) = (9,0) + t(-8,-6)
2) l: 3x-4y-27=0
3) l: y = 0,75x-6,75