Matematik
Umulig grænseværdi
11. februar 2008 af
stræber-pigen (Slettet)
Hvordan kan man beskrive e^x ved hjælp af en grænseværdi.
Svar #1
11. februar 2008 af stræber-pigen (Slettet)
Jeg ved at det er lim(n mod oo) (1+1/n)^n men hvordan bevises det?
Svar #4
11. februar 2008 af Euler (Slettet)
Ah! Det har du også. Jeg troede kun, at jeg så spejlingen af den.
Svar #5
11. februar 2008 af Euler (Slettet)
Lad os betragte f(x) = ln(1+tx)/x, hvor t er et reelt tal.
lim(x->0) f(x) = t. Det følger i øvrigt af L'Hospital (Overvej).
Nu betragter vi din grænseværdi, hvor vi skal vise
lim(n->oo) (1 + t/n)^n = e^t.
1/x = n <=> 1/n = x
(1 + t/n)^n = (1 + tx)^(1/x) = e^((ln(1+tx))/x). Da funktionerne er kontinuerte er den sammensatte funktion kontinuert og vi kan finde grænseværdien
lim(n->oo) (1 + t/n)^n = lim(x->0) e^((ln(1+tx))/x) = e^t.
lim(x->0) f(x) = t. Det følger i øvrigt af L'Hospital (Overvej).
Nu betragter vi din grænseværdi, hvor vi skal vise
lim(n->oo) (1 + t/n)^n = e^t.
1/x = n <=> 1/n = x
(1 + t/n)^n = (1 + tx)^(1/x) = e^((ln(1+tx))/x). Da funktionerne er kontinuerte er den sammensatte funktion kontinuert og vi kan finde grænseværdien
lim(n->oo) (1 + t/n)^n = lim(x->0) e^((ln(1+tx))/x) = e^t.
Skriv et svar til: Umulig grænseværdi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.