Matematik

integralregning

21. februar 2008 af Nyx84 (Slettet)

1) om en kontinuert funktion f og et tal k oplyses, at:

6
integralet af f(x) dx = 17 og
2

6
integralet (f(x)+k)dx =14
2
Beregn k.

2)
a)Bestem skæringspunkterne mellem graferne for følgende funktioner:
f(x)=x-4 og g(x)= 0,5x^2 -3x-1

b) Bestem størrelse af arealet af det område der afgrænses af graferne for funktionerne.

3)
a)Bestem skæringspunkter mellem graferne for følgende funktioner:
f(x)= 0,5x^3 -x^2 -8x+1 og g(x)=0,5x^2-2x+1

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2008 af mathon

6
integralet af f(x) dx = 17 og
2

6
integralet (f(x)+k)dx =14
2
Beregn k.

F(6)-F(2) = 17

F(6)+k*6 - (F(2)+k*2) = 14 = F(6)+6k-F(2)-2k = (F(6)-F(2))+6k-2k = 17+4k

17 + 4k = 14
4k = -3
k = -(3/4) = -0,75

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. februar 2008 af mathon

f(x) = y = x-4
og
g(x)= y = 0,5x^2-3x-1

skæringspunkter har funktionsidentiske koordinater
0,5x^2 -3x-1 = y = x-4, hvoraf

0,5x^2-3x-1 = x-4 eller
0,5x^2-4x+3 = 0, som ganget med 2 giver

x^2-8x+6 = 0 med rødderne

xo1 = 4-sqrt(10) = ca. 0.8378 og xo2 = 4+sqrt(10) = ca. 7.1623, som indsat i
y = x-4
giver
yo1 = 4-sqrt(10)-4 = -sqrt(10) = ca. -3.1623 og yo2 = 4+sqrt(10)-4 = sqrt(10) = ca. 3.1623

skæringspunkter:
(4-sqrt(10);-sqrt(10)) og (4+sqrt(10);sqrt(10))

for 4-sqrt(10)<=x<=4+sqrt(10) er g(x)>=f(x), hvorfor (g(x)-f(x))>=0,
hvorfor

det søgte areal kan beregnes
af

4+sqrt(10)
S(f(x)-g(x))dx
4-sqrt(10)

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. februar 2008 af mathon

f(x) = y = 0,5x^3-x^2-8x+1
og
g(x) = y = 0,5x^2-2x+1

0,5x^3-x^2-8x+1 = y = 0,5x^2-2x+1, hvoraf

0,5x^3-x^2-8x+1 = 0,5x^2-2x+1 eller

0,5x^3-1,5x^2-6x = 0, som ganget med 2 giver

x^3-3x^2-12x = 0, hvoraf

x(x^2-3x-12) = 0

med løsningerne:
xo1 = (3-sqrt(57))/2, xo2 = 0 og xo3 = (3+sqrt(57))/2, som til beregning i de koordinerede y-værdier indsættes i g(x)= 0,5x^2-2x+1, hvilket

giver
yo1 = g((3-sqrt(57))/2) = [25+sqrt(57)]/4
yo2 = g(0) = 1
yo3 = g((3+sqrt(57))/2) = [25-sqrt(57)]/4

skæringspunkter:
((3-sqrt(57))/2;[25+sqrt(57)]/4), (0;1) og ((3+sqrt(57))/2;[25-sqrt(57)]/4)

Svar #4
21. februar 2008 af Nyx84 (Slettet)

Tak..så skal jeg også her bestemme arealet af de områder, der afgrænses af graferne for funktionerne. Hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2008 af mathon

arealet i #2
se
http://peecee.dk/upload/view/99130

Svar #6
21. februar 2008 af Nyx84 (Slettet)

Tak!!Sikke en udregning!!..det jeg så nu skal finde, er arealet af de områder, der afgrænses af graferne f(x)=0,5x^3 -x^2 -8x+1 og
g(x)= 0,5x^2 -2x+1 jvf#3

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2008 af mathon

...har du lært af ovenstående og gjort dig nogle overvejelser?...

Svar #8
22. februar 2008 af Nyx84 (Slettet)

Ja..jeg forstår godt det med at sætte de to ligninger lig med hinanden for at finde skæringspunkter. Jeg synes også, at jeg er ved at have nogenlunde styr på at integrere. Jeg synes dog stadig, at jeg har svært ved at gennemskue sammenhængen med areal. Og især, når det er areal af flere områder, som graferne danner. Det hjælper selvfølgelig at tegne det på grafregneren, men jeg synes stadig, at det er svært.

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. februar 2008 af mathon

...beregn arealet af hvert område for sig...

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. februar 2008 af mathon

#3's
to arealer mellem kurverne:
se
http://peecee.dk/upload/view/99410

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. februar 2008 af mathon

mellemregningerne har jeg udeladt,
da
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 osv.

og blot ville tilsløre overblikket i uønskværdig grad

Svar #12
22. februar 2008 af Nyx84 (Slettet)

Ok..nu tror jeg, at jeg forstår det..med hensyn til A2, så bliver integralet neagtivt, når du bytter om på funktionerne for at få det til at stå på formen f(x) - g(x), og når du så også bytter om på grænserne, så bliver integralet igen positivt..tror lige jeg skal prøve at tegne det..

Brugbart svar (0)

Svar #13
22. februar 2008 af mathon

#12
...ja det er rigtigt...:-)

Skriv et svar til: integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.