Matematik
Gym Matematik A , Kvalificeret hjlæp søges
y'=2x+5-y,
og linjen med ligningen y=1 er tangent for grafen f.
a) Bestem en forskrift for f.
Svar #1
25. februar 2008 af Peden (Slettet)
x^2+5x-e^(x)
Da e^x er sin egen stamfunktion om man vil.
Jeg er lidt i tvivl om hvad du skal bruge tangetinformationen til...
Svar #2
25. februar 2008 af Riemann
y'+y=2x+5 (*)
y'+y=0 (**)
Det kan bevises, at en løsning til (*) er givet ved summen af en løsning til (**) og en vilkårlig løsning til (*).
Fremgangsmåden er altså først at gætte en løsning til (*) og herefter løse (**) og til sidst lægge de to løsninger sammen.
Hvis man gætter på at y=b*x+a er en løsning til (*), så fås:
b+b*x+a = 2*x+5
Heraf fås b=2 og a=3. Så en løsning til (*) er
y=2*x+3
Den fuldstændige løsning til (**) er
y=c*exp(-x)
hvor c er en konstant.
Nu er den fuldstændige løsning til (*) derfor
y=c*exp(-x) + 2*x+3
For at bestemme c skal man bruge betingelsen at "linjen med ligningen y=1 er tangent for grafen f". Dvs., y'=0 for y=1. Dette giver ved indsættelse i (*)
y'+y=2x+5 -->
0 + 1 = 2x+5
så x=-2. Ligningen skal altså gå igennem (-2,1). Bestem nu c ved at kræve at y(-2)=1. jeg får c=2*exp(-2), men tjek selv efter....
Svar #3
25. februar 2008 af Riemann
Svar #4
25. februar 2008 af Riemann
I stedet for følgende
"Det kan bevises, at en løsning til (*) er givet ved summen af en løsning til (**) og en vilkårlig løsning til (*)"
skulle der have stået:
"Det kan bevises, at den fuldstændige løsning til (*) er givet ved summen af en løsning til (**) og en vilkårlig løsning til (*)"
Svar #5
25. februar 2008 af Marie+Louise (Slettet)
#1 Du glemmer en integrationskonstant.
Måde, jeg løste den på, minder meget om Riemanns anden del (fra "bestemmelse af c"-delen). Til den første del brugte jeg at den fuldstændinge løsning til en differentialligning y' + ay = g(x) er y = e^(-ax)* int(g(x)*e^(ax)) dx. Formlen står sikkert i din bog.
Du kan også bruge CAS.
Svar #6
25. februar 2008 af Riemann
Er den formel i gym-pensum?
Den eneste grund til at jeg spørger er, at jeg gerne vil holde mig lidt opdateret om, hvad der sker i gymnasiet...
Svar #7
25. februar 2008 af blackduck (Slettet)
Den metode du anviser er ikke en del af gymnasiepensum. Nogen elever vil muligvis støde på den, hvis holdet vælger at kigge nærmere på differentialligninger af anden orden som supplerende stof.
Jeg er lidt i tvivl om hvorvidt formlen nævnt i #5 er en del af pensum. Den står ikke i min højniveaubog. Det er godt nok et krav at man skal kunne løse den slags differentialligninger #0 spørger til, men jeg tror (desværre) godt en matematiklærer kan opfylde denne del af bekendtgørelsen ved blot at lærere eleverne hvordan man gør vha. CAS.
Svar #8
25. februar 2008 af Marie+Louise (Slettet)
Den er i hvert fald udledt (eller, halvvejs udledt - der er ikke en bevis for, at der ikke er andre funktioner, som kan være løsninger) på s. 142 i MAT B til A af Cartensen, Frandsen og Studsgaard (Systime). Bogen er lavet til matematik efter reformen. Foruden den nævnte differentialligning er der fuldstændige løsninger for differentialigninger, hvor h(x) = 0 og h(x) = konstant samt y' + g(x)*y = h(x). Vi har gennemgået beviserne og hvordan man løser dem i hånden, men vores lærer har ikke noget imod, at vi brugte CAS til prøven.
Svar #9
25. februar 2008 af blackduck (Slettet)
Det er egentlig ret interessant. Vi har ikke gennemgået de pågældende sætninger, men vi kører også med nogle bøger fra før reformen (forlaget trip og forfatter Hebsgaard m.fl så vidt jeg husker). Normalt er der dog bunkevis af sidder (og hele kapitler) vi springer over, fordi bøgerne dækker meget mere end hvad der kræves. Skal da lige have hørt min lærere, om han er opmærksom på at det bliver gennemgået i nyere bøger.
Men til skriftlig eksamen er det klart, at du altid må bruge CAS til at løse en sådan opgave. Der kommer helt sikkert ikke differentialligninger (hvor en forskrift skal bestemmes) til prøven uden hjælpemidler. Det var mere interessant til mundtlig eksamen.
Svar #10
25. februar 2008 af blackduck (Slettet)
Skriv et svar til: Gym Matematik A , Kvalificeret hjlæp søges
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.