Matrix determinanter

http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html

For det første er determinanten kun defineret for kvadratiske matricer - for det andet er det, du her synes at anføre den sædvanlige rekursive definition på determinanten af en (kvadratisk) matrix. Den kan man selvsagt ikke bevise. Så hvad er det egentlig, du har brug for?

Har brug for at definere en n x n matrix (selvfølgelig er den kvadratisk) eller en "n´te ordens determinant", ud fra (n-1)´te ordens determinant..

Se f.eks. her

http://www.sosmath.com/matrix/inverse/inverse.html

...og hvis man ellers synes at lineær algebra er for fedt, og ikke har nogen bog, så kan man kigge i disse noter fra Københavns universitet:

http://www.math.ku.dk/noter/h1.pdf

#5: Kan en vektor have flere end 3 koordinater. I givet fald hvordan? (Hvordan kan den tegnes?) Og hvad er en matricer? Det er et "talskema", men hvilken funktion har et sådant (Det kan ikke tegnes i et koordinatsystem som vektorer, right?)? Og med hensyn til lineær algebra: Vil det være ubrugeligt at gå videre med stoffet? Her mener jeg, vil det overhovedet kunne anvendes i forbindelse med mundtlig/skriftlig eksamen i gymnasiet?

#6: Ja, den kan sagtens have mere end to og tre koordinater. Bare føj de ekstra koordinater til og glem den geometriske fortolkning, du er vant til fra 2D og 3D. Så får du vektorer i R^n, altså lister af reelle tal af længe n.

Mere generelt er en vektor et element i et abstrakt vektorrum - det kunne f.eks. være mængden af alle funktioner fra en mængde til R under almindelig addition af funktioner/skalarmultiplikation.

En matrix er som du siger et talskema. Matricer er interessante, fordi de kan bruges til at repræsentere lineære funktioner fra R^n til R^m; altså funktioner f: R^n -> R^m, som opfylder

f(a*v_1+b*v_2) = a*f(v_1) + b*f(v_2),

for konstanter a,b og v_1,v_2 vektorer i R^n.

Lineær algebra er helt centralt i snart set alle områder af videregående matematik; om man kan have glæde af det til matematikeksamen i gymnasiet er dog mere tvivlsomt.

#7: Tak for et svar af bemærkelsesværdig høj kvalitet :)

Jeg regner med at studere cand.polit efter endt studentereksamen, så der kommer jeg i hvert fald til at beskæftige mig med matematik to år mere. Jeg synes dog, at lineær algebra virker utroligt stimulerende. Jeg ved bare ikke om det bliver for abstrakt for mig på nuværende tidspunkt. Jeg har lidt svært ved at forstå ting, jeg ikke på nogen måde kan afbillede i en form for koordinatsystem. Men det må man vel vende sig til :~)

Mht. gymnasiet tænkte jeg især på hvordan man kan udnytte det i mundtlig matematik. Hvis man kommer op i et givent emne, så kunne man evt. bevise nogle af dem på andre måder end dem angivet i bogen. Nu ved jeg ikke hvor frisk gymnasieverden er i din erindring, men eftersom jeg antager du var god til mundtlig matematik i gymnasiet, kunne du så ikke lige give nogle gode retningslinjer for, hvordan man får karakteren helt op at ringe? Hvordan kommer man ud over det sædvanlige, hvordan gør man den mundtlig fremstilling selvstændig?

Lineær algebra er nemt at gå i gang med - på mange matematiktunge uddannelser har du kurser i lineær algebra allerede første eller andet semester. Mht. at forholde sig til ting i dimensioner højere end tre er det såmænd ikke så problematisk - bare forestil dig det i R^3! Alt i lineær algebra generaliserer problemfrit til højere dimensioner.

Hvorvidt kendskab til lineær algebra kan udnyttes i gymnasiesammenhænge er dog som sagt mere tvivlsomt - her er man jo mestendels optaget af det geometriske perspektiv på vektorregning. Lineær algebra kan supplere det geometriske perspektiv, men er først rigtig nyttigt i højere dimensioner.

En enkelt (vigtig!) anvendelse, som kan relateres til gymnasiestof, er imidlertid løsning af lineære ligninger. Med lineær algebra kan du opstille generelle metoder til løsninger af lineære ligninger med mange ubekendte - altså en generalisering af løsning af lineære ligninger med to ubekendte, som mig bekendt er gymnasiepensum.

Et par tips til den mundtlige:

* Kvalitet fremfor stofmængde. Det er vigtigere at vise, at man fuldt ud behersker argumenterne i et eller to beviser, end at man halvt kender 27 andre mere perifere resultater.

* Hold en fornuftig tavleorden. Det også en stor hjælp til dig selv undervejs. Sørg for at skrive i hvert fald de vigtigste argumenter ned undervejs i beviset - og husk hvor de er! Så kan du repetere beviset for dig selv, hvis du er så uheldig at gå i stå.

* Hav et par tricks i ærmet som du har forberedt på forhånd. Ikke nødvendigvis noget med at gå ud over pensum (som f.eks. ved at inddrage lineær algebra!) - det kan nemt gå galt. Prøv i stedet for hvert emne at inddrage andre dele af pensum på måder, som ikke nødvendigvis står anført i bogen. Det kræver ikke ret meget arbejde og det kan give virkelig bonus. Men som sagt, pas på; det kan være farligt, hvis du bliver overmodig!

* Endelig en lille, men central ting - ingen noter med ind i eksamenslokalet. Allerhøjest en disposition.

Vigtigst er dog nok forberedelsen til eksamen. Ideelt bør du dagen før eksamen kunne alle hovedbeviser, du risikerer at komme op i på stående fod. Det kan lyde som ren udenadslære og frygtelig omfattende - det er det IKKE. Med lidt træning og flair for sagen er det ikke svært at huske matematiske beviser. Du skal blot huske hovedpunkterne i beviset, de ting som er specielle for lige netop det bevis. At kunne et bevis kræver som regel ikke meget mere end at læse beviset meget grundigt en enkelt gang og repetere det et par gange for dig selv på et stykke papir. Det er en /meget/ stor fordel at nå så langt i hjemmeforberedelsen, dels fordi du kan koncentrere dig om andet i selve forberedelseslokalet, dels fordi man ganske enkelt er mere sikker i sin fremlæggelse, såfremt man er velforberedt.

#%.
Er den bog god? Bruger den selv, og vores forelæser gennemgår den slavisk uden at vise andre eksempler, end dem der er angivet i noterne (bogen).
Kunne i øvrigt godt være jeg skulle hve set dette link, så jeg ike behøvede at anskaffe bogen... Men den virker helt ok; bare lidt tung, hvad angår de mange beivser...

#%=#5



Og i øvrigt skal det nævnes, at disse noter er beregnet til forelæsningerne i Reel analyse og lineær algebra på HA(mat.)-studiet (Erhvervsøkonomi og Matematik) på Handelshøjskolen i København (CBS).

I øvrigt synes jeg, at du, 7419, skal overveje dette studium, såfremt du allerede nu interesserer dig for videregående matematik som fx lineær algebra.

#9 Tak for endnu et godt indlæg :)

Jeg har lige et par spørgsmål mht. mundtlig matematik i gymnasiet, og du må gerne inddrage / trække på din egen erfaring fra gymnasiet:

Hvordan gik det til din egen matematikeksamen i 3.g (og evt. års- og terminsprøver)?

"Endelig en lille, men central ting - ingen noter med ind i eksamenslokalet. Allerhøjest en disposition."

Lægger spørgsmålet op til, at man skal trække to beviser, så går man bare ind og beviser dem uden noget? Er det fordi man virker mere sikker?

"Det er en /meget/ stor fordel at nå så langt i hjemmeforberedelsen, dels fordi du kan koncentrere dig om andet i selve forberedelseslokalet, dels fordi man ganske enkelt er mere sikker i sin fremlæggelse, såfremt man er velforberedt."

Jeg kan godt se, at det er smart at kunne alle de beviser i hovedtræk man kan komme op i inden eksamen. Men hvad mener du, at man skal foretage sig under forberedelsen? Skal man kigge på beviserne i bogen, eller skal man bare fremlægge for sig selv?

"Ikke nødvendigvis noget med at gå ud over pensum (som f.eks. ved at inddrage lineær algebra!) - det kan nemt gå galt."

En jeg kender fik 13 i mundtlig matematik i 2.g, og han var oppe i afstandsformlen og afstand fra punkt til linje. Grundlaget for hans 13-tal var, at han gennemgik det hele med vektorregning, hvilket de ikke havde haft om i undervisningen. Kan man godt få 13 uden at gå udover pensum?

#11: Eftersom jeg gerne vil lære at opstille økonomiske prognoser indenfor forskellige industrier foretrækker jeg cand.polit frem for Handelshøjskolens mere erhvervsøkonomiske tilbud.

"En enkelt (vigtig!) anvendelse, som kan relateres til gymnasiestof, er imidlertid løsning af lineære ligninger."

Tænker du her på "determinantmetoden"?

#12:

"Hvordan gik det til din egen matematikeksamen i 3.g (og evt. års- og terminsprøver)?"

Jeg var kun til mundtlig eksamen i matematik i 3g, hvor jeg fik 11. Det var en karakter lavere end årskarakteren - min "fejl" var, at jeg prioriterede stofmængde over kvalitet.

"Lægger spørgsmålet op til, at man skal trække to beviser..."

Ja, dels derfor. En anden grund er den psykologiske: når du véd, at du ikke har nogle noter med ind, bliver du heller ikke fristet til at kigge i dem, hvis du et kort øjeblik kommer i tvivl (det vil du næsten med sikkerhed). Du bliver med andre ord tvunget til at kigge på tavlen og gennemgå trinnene i beviset for dig selv, for derefter forhåbentlig at komme på rette spor igen. Det giver et rigtig godt indtryk og viser, at du kan andet end at citere fra bogens beviser - at du rent faktisk også kan tænke matematik selv. Selvfølgelig bør du kun gøre ovenstående hvis du er meget sikker i faget.

"Jeg kan godt se, at det er smart at kunne alle de beviser i hovedtræk..."

Læs beviserne grundigt og fremlæg så for dig selv. Dvs. tag blok og papir, og gennemgå beviset for dig selv. På den måde bliver du mere opmærksom på, hvordan du egentlig husker beviset - og du træner selvfølgelig også selve fremlæggelsen.

"En jeg kender fik 13 i mundtlig matematik i 2.g, og han var oppe i afstandsformlen og afstand..."

Ja, man kan sagtens få 13 uden at gå ud over pensum. Hvis jeg var eksaminator på en gymnasieeksamen, ville jeg ved topkarakteren først og fremmest lægge vægt på, at eksaminanden er sikker i sin fremlæggelse og har stor forståelse for de metoder, som vedkommende har lært gennem gymnasietiden - heriblandt matematisk metode generelt. At man går ud over pensum er selvfølgelig fint, såfremt det er relevant og man tilsvarende her er sikker i sin sag. En halvdårlig perspektivering udover pensum virker som rent blær, og giver bestemt ikke pluspoint i mine øjne. Men det viser selvfølgelig en vis interesse (hvilket matematiklærere normalt godt kan lide) hvis man lige kan fyre en /kort/ bemærkning af til sidst, hvor man relaterer til noget udenfor pensum. Gør det dog kort, og hold dig dér hvor du kan bunde - det er trods alt pensum, du skal eksamineres i!

"Tænker du her på "determinantmetoden"?"

Ja.

#14: Tak for endnu et suverænt svar :) Jeg er midlertidigt løbet tør for spørgsmål... Forresten er de opgaver du har tilføjet her på studi vanvittigt gode :)

#13:
OK, forståeligt nok, men det skal nævnes, at faget "Industriøkonomi" indgår på det nænte studium. Men økonomi er uden tvivl en god og kompetencegivende uddannelse.