Rækkereduktions algoritmen - hvorfor Echelon?

Hov, glemte lige at spørge; skulle den generelle rækkeredutions algoritme virke på andre måder end ved at man benytter sig af de elementære række operationer (scaling, ombyt, udskift) samt reduktion til echelon/reduceret echelon form? Er der andre alternativer?

http://mathworld.wolfram.com/EchelonForm.html siger det meget præcist:

A matrix that has undergone Gaussian elimination is said to be in row echelon form or, more properly, "reduced echelon form" or "row-reduced echelon form."

Jeg ved ikke, om det hjælper på "helheden", men det forklarer vel, hvad Echelon-form og reduceret Echelon-form betyder. Dit spørgsmål kan således ledes tilbage til Gauss-elimination. Wikipedia (se http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination) skriver:

In linear algebra, Gaussian elimination is an algorithm that can be used to determine the solutions of a system of linear equations, to find the rank of a matrix, and to calculate the inverse of an invertible square matrix. Gaussian elimination is named after German mathematician and scientist Carl Friedrich Gauss.

Elementary row operations are used throughout the algorithm. The algorithm has two parts, each of which considers the rows of the matrix in order. The first part reduces the matrix to row echelon form while the second reduces the matrix further to reduced row echelon form. The first part alone is sufficient for many applications.

----------------

Du kan så spørge, hvorfor denne algoritme anvendes. Det er vel, fordi den virker samt er effektiv (så længe vi holder os til et moderat antal ligninger, dvs. op til nogen tusind ligninger).

"hvorfor definitionen, række reduktions algoritmen, indkapsler begreberne Echelon og Reduceret Echelon form... når man egentligt arbejder videre med de elementære operationer til man når en fuldstændig reduceret matrix. "

Hvad mener du helt præcist som en fuldstændig reduceret matrix? Som jeg husker det er reduceret Echelon en fuldstændig reduceret matrix. (Er dog ikke altid lige god til at huske de forskellige navne....)

Et meget simpelt eksempel kunne være
Til lignings systemet:
2x+4y+ z=8
x+2y+9z=3
4x+ 3z=4

Vi starter med denne matrix


Og får reduceret echelon form(Går ud fra jeg godt kan skippe mellemregninger?)

1000 tak for svar!
Som skrevet før, jeg forstår godt mekanikken men ikke helheden....


Til Sigmund:
At echelon og reduced echelon anvendes til:
determine the solutions of a system of linear equations, to find the rank of a matrix, and to calculate the inverse of an invertible square matrix.
Tja... det ved jeg skam godt. Men hvad sker der når man finder løsningen til de linære ligningssytemer? Hvad bruger man det til? Altså hvad gør en matrix når den er på echelon form/reduceret echelon i det virkelige liv?? I denne sammenhæng? Kan du måske relatere det til et praktisk eksempel?

Til Grisehønen:
Jeg skulle nok have skrevet Reduced Echelon Form. Det var det jeg mente... ved godt hvordan jeg kommer frem til den reducerede matrix ;-)

Ok, praktisk eksempel: lineær programmering (se fx http://www.math.ucla.edu/~tom/LP.pdf). I sin simpleste form fører dette til bestemmelse af skæringspunktet mellem to rette linjer (se kapitel 1 i linket). I reduceret Echelon-form har du skæringspunktet melle linjerne stående til højre.