Matematik
Induktionsbevis
24. juni 2008 af
datmat (Slettet)
En opgave i induktionsbevis lyder sådan.
Find en lukket formel for [Græsk sumtegn(i), nedre grænse: i=a, øvre grænse:n], hvor a er et heltal mellem 1 og n. Bevis at formlen er korrekt vha. induktion.
Det der driller mig med opgaven er at den nedre grænse ikke er en konstant, men er i=a hvor a er et heltal mellem 1 og n. Jeg kan godt løse opgaven hvis den nedre grænse havde været konstant f.eks. i=1, det vil jeg have gjort ved at have n=1 i min basis, og n=n+1 i min induktionsskridt.
Mit spørgsmål er altså hvordan løser jeg opgaven når den nedre grænse a ikke er en konstant ?
Find en lukket formel for [Græsk sumtegn(i), nedre grænse: i=a, øvre grænse:n], hvor a er et heltal mellem 1 og n. Bevis at formlen er korrekt vha. induktion.
Det der driller mig med opgaven er at den nedre grænse ikke er en konstant, men er i=a hvor a er et heltal mellem 1 og n. Jeg kan godt løse opgaven hvis den nedre grænse havde været konstant f.eks. i=1, det vil jeg have gjort ved at have n=1 i min basis, og n=n+1 i min induktionsskridt.
Mit spørgsmål er altså hvordan løser jeg opgaven når den nedre grænse a ikke er en konstant ?
Svar #1
24. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Du kan f.eks. vise formlen summa{i=1 til n}(i), dvs. hvor a=1. Når den er bevist (ved induktion) kan du så udregne:
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i)
Men hvis du gerne vil vise hele smøren ved induktion i ét hug, skal du se på:
summa{i=a til n}(i)
som ønskes vist er lig [n(n+1)+a(1-a)]/2. Nu er induktionsstarten der, hvor n=a:
summa{i=a til a}(i)=[a(a+1)+a(1-a)]/2=[a^2+a+a-a^2]/2=2a/2=a
hvilket stemmer, så induktionsstarten er ok. Nu antager vi, at formlen gælder for alle tal op til n=k og ønsker at vise, at den gælder for n=k+1. Det ser vi nu på:
summa{i=a til k+1}(i)=summa{i=a til k}+k+1
___________________=[k(k+1)+a(1-a)]/2+k+1 (pr. induktionsantagelse)
dette skal nu samles på én brøkstreg, og man skal udnytte, at k+1=2(k+1)/2 samt at k(k+1)+2(k+1)=(k+2)(k+1).
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i)
Men hvis du gerne vil vise hele smøren ved induktion i ét hug, skal du se på:
summa{i=a til n}(i)
som ønskes vist er lig [n(n+1)+a(1-a)]/2. Nu er induktionsstarten der, hvor n=a:
summa{i=a til a}(i)=[a(a+1)+a(1-a)]/2=[a^2+a+a-a^2]/2=2a/2=a
hvilket stemmer, så induktionsstarten er ok. Nu antager vi, at formlen gælder for alle tal op til n=k og ønsker at vise, at den gælder for n=k+1. Det ser vi nu på:
summa{i=a til k+1}(i)=summa{i=a til k}+k+1
___________________=[k(k+1)+a(1-a)]/2+k+1 (pr. induktionsantagelse)
dette skal nu samles på én brøkstreg, og man skal udnytte, at k+1=2(k+1)/2 samt at k(k+1)+2(k+1)=(k+2)(k+1).
Svar #3
25. juni 2008 af datmat (Slettet)
Jeg vil lige spørge om jeg har regnet rigtigt.
Opgaven var altså.
Find en lukket formel for summa{i=a til n}(i), hvor a er et heltal mellem 1 og n. Bevis at formlen er korrekt vha. induktion.
Løsningen:
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i)
Jeg starter altså med at vise formlen summa{i=1 til n}(i) og beviser den er sand ved induktion.
Lad os antage at jeg har vist formlen, og bevist at den er sand ved induktion og fået formlen til følgende:
summa{i=1 til n}(i) = n(n+1)/2
Nu regner jeg på udtrykket herunder for at få den endelig løsning:
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i) =
[n(n+1)]/2 - [(a-1)((a-1)+1)]/2
= [n(n+1)]/2 - [(a-1)a]/2 = [n(n+1)- a(a-1)]/2
Er min løsning rigtig ?
Opgaven var altså.
Find en lukket formel for summa{i=a til n}(i), hvor a er et heltal mellem 1 og n. Bevis at formlen er korrekt vha. induktion.
Løsningen:
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i)
Jeg starter altså med at vise formlen summa{i=1 til n}(i) og beviser den er sand ved induktion.
Lad os antage at jeg har vist formlen, og bevist at den er sand ved induktion og fået formlen til følgende:
summa{i=1 til n}(i) = n(n+1)/2
Nu regner jeg på udtrykket herunder for at få den endelig løsning:
summa{i=a til n}(i)=summa{i=1 til n}(i)-summa{i=1 til a-1}(i) =
[n(n+1)]/2 - [(a-1)((a-1)+1)]/2
= [n(n+1)]/2 - [(a-1)a]/2 = [n(n+1)- a(a-1)]/2
Er min løsning rigtig ?
Skriv et svar til: Induktionsbevis
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.