Fysik

Usikkerhedsinterval

03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

nogen der kan forklare mig dette begreb?
det drejer sig om et forsøg om radioaktivt henfald.. d.v.s jeg har en eksponentielt faldende funktion hvor der skal angives et usikkerhedsinterval...
opgaven lyder: hvad er halveringstiden for Barium-137. angiv såvel en bedste værdi som et usikkerhedsinterval.

er usikker på hvordan denne opgave skal gribes an. nogen som kan give mig et fingerpeg i den rigtige retning?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Beregning af usikkerheder på estimater i lineær regression er vist ikke noget, man lærer om i gymnasiet? Bedste bud på løsning af opgaven må derfor være at bruge et program som f.eks. Excel til at indlægge en tendenslinie på de logaritmetransformerede data og samtidig beregne konfidensintervaller på estimater. Da jeg ikke har Excel, kan jeg desværre ikke bistå i dette.

Svar #2
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm... det er fysik på obligatorisk niveau i 2.g, så hvad du lige har fortalt mig siger mig ikke så meget ;)
vi har fået opgivet en formel som siger at 65 % af målingerne vil ligge i intervallet k * N = T-B +/- (kvrd(T) + kvrd(B))
og at 95% af målingerne vi ligge i intervallet k * N = T-B +/- 2(kvrd(T) + kvrd(B))

hvor k er henfaldskonstanten, N er antallet af kerner og T-B er det baggrundskorrigerede tælletal.

d.v.s. at teoretisk set skal k * N = T - B, dog er der bare denne usikkerhed på +/- 2(kvrd(T) + kvrd(B))

er det sådan det skal forstås?

skal jeg så kun angive et usikkerhedsinterval for halveringstiden?

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Ja, det er rigtigt nok forstået. Dog ser formlen en anelse besynderlig ud; skal du ikke dividere med tiden på højresiden?

Svar #4
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

tiden? det melder opgaven ikke noget om :S
for lige at tage fat i den konkrete eksempel, så har jeg fået halveringstiden for 137-Barium til 159sek.
idet jeg skal finde usikkerhedsintervallet for halveringstiden indgår der jo hverken et tælletal eller en baggrundsstråling :\\

forstår ikke rigtigt hvilke tal jeg skal sætte ind i stedet for T og B, da det jo er halveringstiden jeg skal finde et usikkerhedsinterval for, og der indgår jo hverken T eller B i halveringstiden?

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Hvordan har du bestemt halveringstiden?

Svar #6
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

har foretaget ca. 25 målinger. indtegnet punkterne i et koordinatsystem (den baggrundskorrigerede stråling (T-B) som funktion af tiden). Det viser sig så at grafen bliver eksponentielt faldende, altså jeg kan bestemme halveringstiden ved: log(½) / log(a)
herved har jeg fået 159sek

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Ja, og i så fald vil man også bruge den fremgangsmåde til bestemmelse af usikkerheden, som jeg først omtalte.

I den formel, du angiver, er det kun højresiden, som jeg umiddelbart kan drage mening af. Den kan du bruge til at indtegne usikkerhedsfaner på hver af de 25 målinger, hvor måleusikkerheden er 2(kvrd(T) + kvrd(B)); svarende til, at hvis du gentog eksperimentet mange gange, ville det sande tælletal ligge i dette interval omtrent 95% af gangene.

Når venstresiden inddrages bliver der dels bøvl med enhederne, dels er det ikke klart, hvordan du skal relatere det til alle dine mange målinger.

Svar #8
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

ja præcis, men da får jeg jo usikkerhedsintervallet for måleserien og ikke for halveringstiden?
altså... hvis jeg så indsætter punkterne som angiver usikkerhedsintervallet for hver måling i et koordinatsystem, kan jeg for hver måling forbinde henholdsvis 2(kvrd(T) + kvrd(B)) med hinanden og -2(kvrd(T) + kvrd(B)) med hinanden. herved får jeg så to eksponentielt faldende funktioner. jeg kan så udregne halveringstiden for disse. jeg får så eks. 179 og 139 (bare eksempel) som halveringstider, altså er usikkerhedsintervallet for halveringstiden altså [139,179]

kan det forstås på denne måde?

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Nej, det vil ikke give dig det rigtige resultat - ideen er dog god nok, men det kræver at du gør tingene lineære i stedet. I.e. for en simpel ad hoc metode, som ikke kræver så meget teori, tegner du i stedet usikkerhedsfanerne ind på enkeltlogaritmisk papir. Vurdér nu, hvor "ekstrem" du kan gøre din bedste rette linie, så den holder sig indenfor usikkerhedsfanerne - altså hvad bliver hhv. den største og mindste hældning. Brug så disse til at beregne dit usikkerhedsinterval.

Svar #10
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm... altså.. for 2(kvrd(T) + kvrd(B)) får jeg f.eks. en foreskrift: y = 1880 * 0,98^x og for -2(kvrd(T) + kvrd(B)) får jeg f.eks. y = 1800 * 0,98^x.. de må vel nødvendigvis få samme stigningstal, her (0,98), som også er det samme som den originale foreskrift's.
herved kan jeg altså udregne usikkerhedsintervallet som: +/-2(kvrd0,98)

Er muligvis ikke sikker på hvad du mener

"så den holder sig indenfor usikkerhedsfanerne - altså hvad bliver hhv. den største og mindste hældning. Brug så disse til at beregne dit usikkerhedsinterval"
er ikke helt med på hvor jeg får T og B fra når jeg udelukkende får en foreskrift. disse skal jeg netop bruge i min formel.

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Det lyder til, du bruger din lommeregner til at bestemme regneforskriften? Glem den for en stund og tegn i stedet punkter og usikkerheder ind på enkeltlogaritmisk papir.

Du véd, at

N(t) = N_0 * exp(-k*t),

så tager vi ln på begge sider fås

log(N(t)) = ln(N_0) - k * t.

Altså forventes på enkeltlogaritmisk papir en tilnærmelsesvist ret linie, når du indtegner dine datapunkter. Den kan du evt. give et bud på ved at tegne den ind, eller du kan nøjes med dit tidligere bud fra lommeregner.

Du kan nu også indtegne usikkerhedsintervallerne på papiret for hvert målepunkt. Spørgsmålet er nu, hvor meget du kan ændre på den bedste rette linie, sådan at den stadig holder sig indenfor usikkerhedsfanerne. Specielt er vi interesseret i de to linier, som har størst og mindst hældning; svarende til de "mest ekstreme" halveringstider. Ud fra disse hældninger kan du bestemme usikkerhedsgrænserne.

Svar #12
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm... så vidt jeg kan forstå så er det samme princip jeg foreslog?
jeg har først en ret linie for mine målinger, dernæst har jeg en linie med 2(kvrd(T) + kvrd(B)) for alle målingerne og til sidst en linie med -2(kvrd(T) + kvrd(B)) for alle målingerne.
stigningstallet for 2(kvrd(T) + kvrd(B)) angiver altså den ene ende af intervallet hvorimod stigningstallet for -2(kvrd(T) + kvrd(B)) angiver den anden ende af intervallet?
eller hvordan skal den forståes? er nåske itvivl om hvilke punkter som skal forbindes?

Brugbart svar (0)

Svar #13
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Nej, hældningen ændrer sig jo ikke ved at du flytter bedste rette linie op og ned parallelt med andenaksen.

Du kan forestille dig det således: Usikkerhedsfanerne på dine målinger giver et "bånd" af en vis bredde om dine målinger. Indenfor dette "bånd" ligger den bedste rette linie med stor sandsynlighed. Hvor stor en forskel kan man da lave på hældningen af linien indenfor dette "bånd"? Du skal /ikke/ tegne en linie langs usikkerhedsfanerne; tænk i stedet geomtrisk. Hvis du lægger en linie diagonalt på "båndet" i stedet, fra det nederste venstre "hjørne" af dette til øverste højre, får den mindst hældning. Tilsvarende bliver hældningen størst, hvis du lægger den diagonalt på den anden led.

Svar #14
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm... det kan jeg godt se, men hvordan udregner jeg det matematisk?
hvilke tal skal jeg så sætte ind i 2(kvrd(T) + kvrd(B)) og -2(kvrd(T) + kvrd(B))?

undskyld uforståelsen :S

Brugbart svar (0)

Svar #15
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Du har vel målt tælletallet og baggrundsstøjen til hvert måletidspunkt?

Du kan ikke udregne usikkerhedsgrænserne på anden vis end den grafiske metode, jeg foreslår, medmindre du bruger nogle mere komplicerede statistiske metoder.

Svar #16
03. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

ja har målt T og B, så får jeg de der to rette linier vi snakkede om før... så får jeg vel et usikkerhedsinterval for hver måling. hvordan relaterer jeg så det til baggrundsstrålingen?
men altså, så kan jeg så lave en regression på formen N(t) = N_0 * exp(-k*t) og bestemme k.
Derved beregne halveringstiden for disse 2 linier: t½ = ln(2)/k, som så vil angive de to "ekstreme" halveringstider?
det samme som jeg næsten spurgte om før :|

Brugbart svar (0)

Svar #17
03. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Rette linier bliver de nok ikke, men ja, du får et usikkerhedsinterval for hver måling. Du indtegner dette interval sammen med målepunkt på enkeltlogaritmisk papir. Det gør du for alle dine punkter. Du finder dernæst den bedste rette linie og heraf t½ = ln(2)/k, hvor k er hældningskoefficienten for bedste rette linie (numerisk). Dette er den 'bedste værdi' for t½. Den bedste rette linie kan du enten finde ud fra to punkter på linien og ligningen for en linie -
eller ved brug af din lommeregner. Førstnævnte er nok at foretrække, for det er nemlig den metode, du skal bruge til at finde usikkerhedsintervallet for t½. For at bestemme et usikkerhedsinterval for t½ finder du nu, som jeg har forklaret, de to mest ekstreme linier (ekstreme mht. hældninger), som holder sig indenfor usikkerhedsgrænserne. Find deres forskrift ved at aflæsning af to punkter og brug af formlen for en ret linie.

Du har nu to ekstreme værdier af hældningskoefficienten, find da de ekstreme halveringstider ved at bruge tidligere anvendte formel.

Svar #18
04. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm...
jeg har altså udregnet usikkerheden for alle målinger og plottet dem ind i et enkellogaritmisk koordinatsystem. herved 2 ekstra linier. har v.h.a. regression bestemt k til værende henholdsvis 0,00427 og 0,00446. så har jeg udregnet halveringstiden: t½ = nl(2) / k, og har fået dem til 162,4sek og 155,4sek.. dette er så de mest "ekstreme" værdier og intervallet er da [155,4;162,4]

korrekt?
lidt svært at forstå når det ikke er tegnet..

Brugbart svar (0)

Svar #19
04. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Det lyder korrekt, forudsat at dine ekstreme linier er korrekte. Du kan se (forhåbentlig!), hvad jeg mener på nedenstående skitse:

http://www.math.aau.dk/~gorst/sp1.gif

Svar #20
04. oktober 2004 af The_Failure (Slettet)

hmm... mine grafer ser ikke helt sådan ud... har du tilfældigvis msn? så kan jeg sende dig et link til min ftp-server.. bryder mig ikke om at poste det offentligt :S hvis du vil tilføje mig havde det være fint :) [email protected]

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.