Grænseværdi , differentialkvotient.

Nej.

Hvad er forskellen?

Grunden til din forvirring skyldes nok, at en reel funktions differentialkvotient er bestemt ved grænseværdien:

Grænseværdier kan nemlig skrives som fx

som betyder, at f(x) kan gøres så tæt på L som muligt, ved at lade x gå tilstrækkeligt tæt på c. I dette tilfælde siger man, at grænseværdien af f(x), når x går mod c, er L. Hvad angår differentialkvotienter, så bruger man grænseværdier til at lade h (eller "delta x") være så lille som muligt - dvs. vi finder hældningen for en funktion y=f(x) i et uendeligt lille interval, når vi lader h gå mod 0.

Mange tak for forklaringen.

Grænseværdi

Hvis en funktion f(x) nærmer sig en bestemt værdi a, når x nærmer sig x₀, siger vi at værdien a er f's grænseværdi for x gående mod x₀. Det er altså f's funktionsværdier, vi kigger på her.

Differentialkvotient (grænseværdien af differenskvotienten)

Ordet er lidt svært at forstå, da det har en historisk oprindelse, men den historiske tankegang er blevet erstattet med noget mere fornuftigt. Historisk set var dy/dx den såkaldte differentialkvotient, hvor dy og dx var differentialer og ordet "kvotient" betyder brøk/forhold. Differentialerne dy og dx var hhv. uendeligt små ændringer i y-værdierne og i x-værdierne, derfor var dy og dx praktisk talt nul, hvorfor brøken dy/dx var nul divideret med nul, hvilket matematisk set giver dårlig mening, da man aldrig må dividere med nul!

I dag ser man på Δy/Δx, hvor nævneren ikke er nul, og hvor Δy=f(x+h)-f(x) er en forskel i y-værdier og Δx=h er den tilsvarende forskel i x-værdierne. Kvotienten Δy/Δx kaldes differenskvotienten, da Δy og Δx er ganske almindelige forskelle/differenser. Nu tager man grænseværdien lim_h→0Δy/Δx og kalder denne grænseværdi for brøken for differentialkvotienten eller f'(x) eller den afledte af f i punktet x.

I dag er differentialkvotienter altså grænseværdier for differenskvotienter. I gamle dage var differentialkvotienter forholdet mellem uendeligt små x og y-forskelle - såkaldte differentialer. Tilbage fra vores lærdom om linjer ved vi, at y-forskellen divideret med x-forskellen giver linjens hældning. Se formlen for a i linjens ligning - det er netop y-forskelle over x-forskelle... Således får man hældningen for grafen for f i punktet x, når man finder grænseværdien lim_h→0Δy/Δx.

og tak til "fluen på væggen" :)