Ekstremumspunkt for C^1-funktion

Det er ikke helt korrekt.

medfører

Du skal differentiere først, altså

og så sætte y=1

hvilket kan differentieres

Fidusen er, at du ikke behøver at kende f, da du (med garanti) har en sætning, der fortæller dig, at de dobbelt partielt afledte af f, ∂²f/(∂x∂y) og ∂²f/(∂y∂x) (bemærk differetiationsrækkefølgen ved at se på nævneren) er lig hinanden, hvis de begge eksisterer og er kontinuerte. Da f er C² er dette netop tilfældet.

Vi skal nu bruge kædereglen til at bestemme g'(x). Se derfor på funktionerne h=∂f/∂y og φ=(φ₁,φ₂) givet ved koordinatfunktionerne φ₁(x)=x og φ₂(x)=1. Nu er g=h(φ) en sammensat funktion, der kan differentieres vha. kædereglen, hvilket giver:

Og da φ'₁(x) = 1 hvorimod φ'₂(x) = 0, overlever kun det første led, så man kan slutte, at

Ifølge den tidligere nævnte sætning, kan du finde denne funktion ved at differentiere eet udtryk, der er givet først i opgaven, mht. y (uden først at sætte y=1), fordi som sagt

, hvorpå du sætter y=1 og dermed har g'(x) eksplicit udregnet.

#2 er oplagt mere fiks et mit svar. 

Mange tak!

Jeg gjorde som #1, men glemte lige at differentiere g(x) = 2x+x^2 for at finde ekstremum, dvs. jeg løste 0 = 2x + x^2 hvilket giver det forkerte!

#2 Ah, smart!