Pythagoras

1) Arealet af det store kvadrat er a^a+b²+2ab.

2) Ärealet af de 4 trekanter er 2ab.

3) Arealet af det lille kvadrat er c².

På figuren kan du se at

arealet af det store kvadrat = arealet af det lille kvadrat + arealet af de 4 trekanter.

Nu indsætter du de 3 arealer og har vist Pythagoras.

ps. Husk at gøre rede for at de to firkanter er kvadrater.

Vil du ikke prøve at svare præcis på det jeg har spurgt om med fed skrift ??

OK.

1. Nej, hvor kommer c² fra?

2. Nej, du skal kigge på tegningen. Der skal du se at

"arealet af det store kvadrat = arealet af det lille kvadrat + arealet af de 4 trekanter"

3. Fra 1. Det er jo arealet af det store kvadrat.

4. Det er noget vrøvl. Arealet af det lille kvadrat er c². Det kan du se på tegningen.

Det giver ingen mening at "stille dem op mod hinanden" før du har fundet arealet af det lille kvadrat.

Tak det hjalp, nu har jeg så prøvet at rette det - er det rigtigt nu ??

For at bevise læresætningen danner vi en retvinklet trekant ABC og ved hjælp af tre tilsvarende trekanter danner en kvadrat med sidelængden (a + b), som vist nedenfor.

Nu ser vi en kvadrat med sidelængde a + b, og i midten en mindre kvadrat med sidelængderne c. Dette er sandt, da vinkelsummen i enhver trekant er 180°, da det gælder, at x + y = 90° som er den sidste vinkel i den retvinklede trekant og den ene vinkel på det lille kvadrat i midten. Derfor er det muligt, at de fire retvinklede trekanter kan danne to kvadrater.
 

Areal af det lille kvadrat findes således:
 

a^2+b^2+2ab=2ab+ c^2
a^2+b^2=c^2
 

Beviset går nu ud på at udregne arealet af det store kvadrat på to forskellige måder. Først kan arealet på det store kvadrat udtrykkes således:
 

(a+b)*(a+b)=a^2+ b^2+ 2ab
 

… og arealet af de 4 trekanter således:
4* ½*ab=2ab
 

Arealet af det store kvadrat = Arealet af det lille kvadrat + arealet af de 4 trekanter, og Pythagoras’ læresætning er bevist:
 

(a+b)^2= c^2+ 4*½*ab
a^2+b^2+ 2*ab= c^2+ 2*ab
a^2+b^2=c^2
 

Det er lidt svært at forstå din argumentation for at den lille firkant er et kvadrat. x og y er vel de to spidse vinkler i den retvinklede trekant? Det er rigtigt at x+y=90. Men når x+y=90 og en lige vinkel er 180 så er vinklen i den lille firkant 90 (180-90=90). Da siderne er lige lange (c) og vinklerne er 90 er firkanten et kvadrat.

Derudover er der en rettelse:

Areal af det lille kvadrat findes således:
a^2+b^2+2ab=2ab+ c^2
a^2+b^2=c^2

skal rettes til

Areal af det lille kvadrat findes således:
c²

Kan ikke få det formuleret, det er så svært at skrive, men ja tror det er forstået..

Nu ser vi et kvadrat med sidelængde a + b, og i midten et mindre kvadrat med sidelængderne c. For at finde ud af, om den lille firkant er kvadratisk, tilføjer vi x og y i trekanternes vinkler, da det gælder, at x + y = 90°. Da vinklerne i den lige vinkel er 180°, må vinklen i den indre firkant være 180 - (45 + 45) = 90° og dermed kvadratisk. Derfor er det muligt, at de fire retvinklede trekanter kan danne to kvadrater.

Bedre ??

Ja, det er bedre. Der er dog stadig to mangler.

1. De to vinkler x og y er ikke nødvendigvis 45 grader hver, de er 90 tilsammen. Måske 60+30, måske 45+45 eller 80+10. Det betyder at

180 - (45 + 45) = 90°

skal rettes til

180 - 90 = 90°

2.

Derfor er det muligt, at de fire retvinklede trekanter kan danne to kvadrater

skal rettes til

Derfor er den lille firkant et kvadrat.

Okay TUSIND TUSIND tak for hjælpen..

Det sidste der ikke er helt på plads er rettelsen i #5 ..

Sådan har min lærer nemlig skrevet det op, ved du hvorfor ..

Jeg er sikker på at du husker galt.

Det du har skrevet i 5 er fortsættelsen af beviset, når arealet af det lille kvadrat er bestemt til c². Din lærer har netop indsat i

"arealet af det store kvadrat = arealet af det lille kvadrat + arealet af de 4 trekanter"
 

Nu ser vi et kvadrat med sidelængde a + b, og i midten et mindre kvadrat med sidelængderne c. For at finde ud af, om den lille firkant er kvadratisk, tilføjer vi x og y i trekanternes vinkler, da det gælder, at x + y = 90°. Da vinklerne i den lige vinkel er 180°, må vinklen i den indre firkant være 180 - 90 = 90° og dermed må være kvadratisk. Derfor er den lille firkant et kvadrat.
 

Areal af det lille kvadrat er c^2.
 

Beviset går nu ud på at udregne arealet af det store kvadrat, som udtrykkes således:
(a+b)*(a+b)=a^2+ b^2+ 2ab
 

… og arealet af de 4 trekanter således:
4* ½*ab=2ab
 

Arealet af det store kvadrat = Arealet af det lille kvadrat + arealet af de 4 trekanter, og Pythagoras’ læresætning er bevist:
(a+b)^2= c^2+ 4*½*ab
a^2+b^2+ 2*ab= c^2+ 2*ab
a^2+b^2=c^2
 

Skal det så bare skrives sådan ?

Det er rigtigt.