Underrum

 Jeg kunne tilsyneladende ikke bruge [url] kommandoen, men linket står der i hvert fald :)

Her som JPEG filer..

A og B delen: http://peecee.dk/upload/view/143218

C og D delen: http://peecee.dk/upload/view/143219

ad a) Klart at Pol_n(R) er en ikke tom delmgd af Pol(R). For f(x)=∑_i≤na_ixⁱ, g(x)=∑_i≤nb_ixⁱ ε Pol_n(R) og λ,μ ε R er λf(x)+μg(x)=Σ_i≤n (λa_i+μb_i)xⁱ et polynomium af grad højst n, dvs. λf(x)+μg(x) ε Pol_n(R) ... altså er Pol_n(R) et UR af Pol(R)

ad b) Vis φ er lineær, surjektiv og injektiv. ... dette viser at dim(Pol_n(R))=dim(Rⁿ⁺¹)=.....

ad c) Brug at φ (fra b) er en isomorfi og kig på φ(e_j), hvor {e₁,...,e_n+1} er den sædvanlige basis for Rⁿ⁺¹

ad d) her må du selv have et gæt :-)

 Dit svar til opgave er jo netop den def. og de to betingelser jeg har skrevet længere oppe. Har jeg ret?

 Og med dine summationstegn efterfulgt af i mindre end lig med n, mener du summeret over alle de i'er der er mindre end eller lig n?

#4 ja

#5 ja ... f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ=∑ⁿ_i=0a_ixⁱ=∑_i≤na_ixⁱ ... sidstnævnte er nemmest at skrive og ser "pænest" ud herinde

 Okay. 

I opgave c har jeg at for f(x) = ∑i≤n a^i x^i

gælder

f(lambda x) = ∑i≤n (lambda a^i) x^i = ∑i≤n (a^i x^ i) lambda = lambda f(x) og derfor må phi være lineær.

Er det korrekt?

 Nej det kan ikke være rigtigt. Jeg kan virkelig ikke komme videre med opgave c. Du må MEGET gerne hjælpe mig lidt igen:)

#8 Når {e₁,...e_n+1} er en basis og φ er en isomorfi er {φ(e₁),...,φ(e_n+1)}  en basis.

Beregn φ(e_j)= ..........

#7 du mener vel opg b?

Læs a=(a₀,…,a_n) som søjlevektoren i Rⁿ⁺¹.
Med vilk. a=(a₀,…,a_n),b=(b₀,…, b_n)εRⁿ⁺¹ og λεR er
φ(λa)= φ(λa₀,…, λa_n) = ∑_i≤n λa_ixⁱ = λ∑_i≤n aⁱx_i = λφ(a₀,…, a_n) = λφ(a)
φ(a+b)= φ(a₀ +b₀,…, a_n +b_n) = ∑ _i≤n (a_i +b_i)xⁱ = ∑ _i≤n a_ixⁱ+∑ _i≤n b_ixⁱ = φ(a₀,…, a_n)+ φ(b₀,…, b_n) = φ(a)+φ(b)
hvilket viser at φ er lineær :-)

#10  Ja selvfølgelig :)

Kan du evt. hjælpe mig lidt mere udførligt i opgave C? Her kan jeg virkelig ikke kommge igennem

#11 med e_j=(0,...,0,1,0,...,0) [ et 1'tal på j'te plads og 0 ellers] er φ(e_j)=x^j-1, hvorfor {1,x,x²,...,xⁿ} er en basis for Pol_n(R) da {e₁,...,e_n+1} er en basis for Rⁿ⁺¹

... jeg går udfra du kender resultatet/sætningen "når {b_i} er en basis og ψ er en isomorfi er {Ψ(b_i)} en basis" ...

Den kender jeg godt ja. Fandt den også i bogen efterfølgende.. Man kunne nemlig går to veje i den her opgave. Enten kunne jeg løse b først og vise at det er en isomorfi, eller også kunne jeg løse c først og vise det er en basis. 

De følger sådan lidt af hinanden :)

Du skal i hvert fald have tusind tak for indsatsen og din hjælp!