Newton+svingninger

Vi kan starte med et udæmpet system (det vil sige et system, hvor der ikke er noget, der dæmper svingningerne som for eksempel friktion). Newtons lov siger, at Masse gange acceleration = den resulterende kraft, det kan også skrives som en differentialligning my'' = -k*y, hvor k er en positiv konstant, og minustegnet hidrører fra, at der er tale om en kraft, der modvirker bevægelsen (restoring force). Vi kan skrive den:

my''+k*y = 0, det er en såkaldt lineær differentialligning med konstante koeffecienter. Uden at gå i detaljer, hvilket fylder en del, er den generelle løsning til sådan en differentialligning:

y(t) = A*cos(ωt) +B*sin(ωt).

Vi skal altså have nogle udgangsbetingelser (initial conditions) for at kunne løse den. ω er vinkelfrekvensen (rotationshastigheden målt i radianer pr. sekund, altså med enheden sek ^-1). Den bevægelse, der fremkommer her, kaldes en harmonisk svingning. Et eksempel er et lod ophængt i en fjeder. Du trækker i loddet og så har du dine svingninger. Det ved ethvert barn, og det er den kvalitative beskrivelse af fænomenet. Resten er den kvantitative beskrivelse (den med tal og bogstaver), det er den, du lærer om i gymnasiet.

Jeg håber det er et tilfredsstillende svar.

Angående Hookes lov, så står der en mængde om den her på sitet

I nogle bøger, som jeg har læst, står der k^2?

altså y´´= k^2*y

Og er det ikke også noget med at Newton opfandt differentialregningen? Kan man sige, at uden newtons lovmæssigheder, ville det være umuligt at beskrive en svingning?