Krumning og indretningen af et sneglehus

#0

Hvad for et dokument?

Jeg kan ikke forstå at det ikke bliver vedhæftet? :S

Den logaritmiske spiral.
Vindingen på et sneglehus, eller huset fra Nautilus, er en såkaldt spiral kurve. Ordet spiral, i sin matematiske betydning, refererer til en plan kurve som gennemløbes af et punkt P, der vinder sig om et fast punkt O i planen samtidig med, at det bevæger sig bort fra O.
Billedet til højre viser en logaritmisk spiral. Det er netop den spiral, som udgør vindingen i et sneglehus.
En logaritmisk spiral fremkommer som banekurven fra et punkt P, der bevæger sig ud af en halvlinie med en hastighed som vokser proportionalt med afstanden fra begyndelsespunktet O (eksponentiel vækst), samtidig med, at halvlinien med jævn hastighed roterer i planen. Når størrelserne r og ? har samme betydning som i tilfældet med en arkimedisk spiral,
 

Arkimedisk spiral: Denne spiral fremkommer som banekurve for et punkt P, der med jævn hastighed bevæger sig ud af en halvlinie med begyndelsespunkt i O, samtidig med, at halvlinien med jævn hastighed roterer i planen. Hvis afstanden fra det faste punkt P betegnes med r, da er en arkimedisk spiral altså bestemt ved en ligning r = a*?, hvor ? er vinklen som liniestykket OP har drejet sig målt ud fra en fast orienteret halvlinie i planen med begyndelsespunkt O, og a er en karakteristisk konstant for spiralen.

da beskrives en logaritmisk spiral ved en ligning på formen r = a*exp(b* ?), hvor tallene a og b er karakteristiske konstanter for spiralen, og exp betegner ekspotentialfunktionen. Der er ingen indskrænkning på konstanten b, men a skal være positiv for at det kan blive en spiral. Ækvivalent kan ligningen skrives på formlen, Hvor ln betegner den naturlige logaritmefunktion:

Φ=(1/b) * ln (r/a)

For at forklare indretningen af et sneglehus må man se lidt på krumningen af en kurve. Generelt kan vi som før tænke på en plan kurve som banekurven fra et punkt P, der bevæger sig i en given plan. Til ethvert tidspunkt i denne bevægelse har punktet en hastighedsvektor, som beskriver den øjeblikkelige bevægelse af punktet; se figuren nedenfor. Retningen på pilen angiver retningen for den øjeblikkelige bevægelse, og længden af pilen angiver farten i bevægelsen til det pågældende tidspunkt.
En måde så man bedre kan forestille sig hastighedsvektoren på er at forestille sig, at P er en lille lygte, og at der under bevægelsen optages en film af P. Ser man nu filmen i langsom gengivelse, vil det se ud som om P bevæger sig langs en brudt retliniet vej (en polygonal vej), og i hvert punkt af denne brudte linie er den fremadrettede kant tilnærmelsesvis et mål for hastighedsvektoren i punktet.
 

Linien, der indeholder hastighedsvektoren til kurven i P, kaldes kurvens tangent i P. Tangenten er den linie, der bedst approximerer kurven i en omegn af det betragtede punkt.

Betragt nu et fast punkt P0 på kurven svarende til tidspunktet t0. For ethvert nabopunkt Q til P0 på kurven findes netop en cirkel i planen der går gennem punkterne P0 og Q og hvis tangent i P0 indeholder hastighedsvektoren for kurven i punktet P0. Når nabopunktet Q rykker mod P0 nærmer denne cirkel sig en grænsecirkel;
Se Figuren til nedenfor. Radius i grænsecirklen kaldes krumningsradius for den betragtede kurve i P0 og selve grændsecirklen kaldes for kurvens krumningscirkel i P0. Krumningscirklen er den cirkel, der bedst approximerer kurven i omegnen af det betragtede punkt. Krumningen af kurven i punktet P0 er den reciprokke værdi af krumningsradius. Hvis man under gennemløbet af kurven i nærheden af P0 drejer mod venstre regnes krumningen i P0 for positiv. Drejer man derimod mod højre regnes krumningen som man kunne sige sig selv for negativ. Det kan også siges på følgende måde:

Krumningen i P0 regnes for positiv, hvis gennemløbsretningen på krumningscirklen induceret af kurvetangentens retning er imod uret, og for negativ, hvis den er med uret.

Se nu på log spiral igen på den foregående side og se på den kurve som udgøres af samlingen af centre i krumningscirklerne til venstre. Det viser sig, at denne kurve igen er en logaritmisk spiral som er kongruent med den oprindelige kurve. Hvis man derefter Anbringer systemet af krumningscirkler for den logaritmiske spiral, så hver enkelt cirkel har sit centrum i det tilsvarende punkt på kurven og samtidig er vinkelret både på hastighedsvektoren i punktet og på planen hvori den logaritmiske spiral forløber. Derved beskrives en flade i rummet og denne flade er netop et sneglehus. Vindingen i sneglehuset udgøres af kurven af centre for krumningscirklerne til den logaritmiske spiral og er altså selv en logaritmisk spiral. Hvordan dælen finder sneglen ud af det? Det er bare endnu et eksempel på hvor fascinerende naturen er.
 

Der mangler billeder, men jeg ved ikke hvordan jeg kan få disse med?!