Matematik

Kvadrattal

08. november 2004 af haxaxa (Slettet)

Hej
har problemer med to opgaver i denne uges blækregning

"Vis, at n^4+n^2+1 ikke er et kvadrattal for noget naturligt tal n."

og

"På en kvadratisk grund ligger en lade 5 km fra det nordvestlige hjørne, 3 km fra det nordøstlige hjørne og 7 km fra sydøstlige hjørne.
find sidelængden i den kvadratiske grund."

på forhånd tak
Tobias

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Jeg kigger lige lidt på den og vender tilbage, når jeg finder ud af noget.

// Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Den sidste opgave er lidt svær og kræver noget overblik. Men lad os starte med den første.

Lad K være et kvadrattal. Det kan skrives K=n^2, hvor n er positiv heltallig. Påstanden er så, at

K = n^4 + n^2 + 1 = n^2

ikke er opfyldt for noget naturligt tal n. Men det er også rigtigt, idet

n^4 + n^2 + 1 = n^2 <=> n^4 + 1 = 0

og den sidste ligning har ingen løsning i de naturlige tal, N. Den har ikke engang en løsning i de reelle tal, R.

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Vejledende forslag til besvarelse af den anden opgave kommer her:

1) Tegn en skitse og afmærk kvadratets hjørner A(NV),B(NØ), C(SV) og D(SØ). Vi ser på et indre punkt P i kvadratet, som er placeret således, at AP = 5, BP = 3 og DP = 7. Tegn!

2) Fodpunktet for højden fra P på AB kalder vi E, og fodpunktet for højden fra P på BD kalder vi F. Tegn!

3) Sidelængden i kvadratet kaldes x. Vi sætter endvidere EB = a og FB = b.
Tegn!

4) Nu kommer regnerierne (Pythagoras):

(x-a)^2 + b^2 = 25 (1)
(x-b)^2 + a^2 = 49 (2)
a^2 + b^2 = 9 (3)

dvs. tre ligninger og 3 ubekendte.

5) Træk (1) fra (2) for at eliminere x^2 og brug (3) så får du

(2a-2b)x = 24

hvoraf x = 12/(a-b).

Bemærk, at a=b er umuligt. I så fald ville AP=DP, hvilket jo ikke er tilfældet.

Udtrykket for x indsættes i (1), og efter lidt omskrivninger fås

144-24a(a-b)-16(a-b)^2 = 0 (4)

Brug nu, at b=sqrt(9-a^2) ifølge (3) og indsæt det i (4).

Denne ligning kan løses med en SOLVER på fx en TI-83.

Resultat: a = sqrt(441/58)

Brug nu (3) til at få b = sqrt(81/58)

og endelig finder vi

x = 12/(sqrt(441/58)-sqrt(81/58)) = sqrt(58)

hvilket skulle bestemmes.

Ja - opgaven var svær. Jeg håber, dette kan bruges som hjælp.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Rettelse:

Jeg overså, at afstandene er opgivet i km, så afstandene skal retteligt være

a = sqrt(441/58)km = (21/sqrt(58))km
b = sqrt(81/58)km = (9/sqrt(58))km

og sidelængden er dermed

x = sqrt(58)km

Beklager fejlen :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. november 2004 af allan_sim

#2 viser vel ingenting... hvis n^4+n^2+1 skal være et kvadrattal for et naturligt tal n, må vel gælde, at
n^4+n^2+1=m^2 for et eller andet m? (Og ikke for det samme n)

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. november 2004 af frodo (Slettet)

#5: Det er rigtigt. Der er ingen der har sagt, at ligningen giver n^2! Det skulle i så fald stå i opgaven, og det gør det jo ikke.
Uden at have kigget på det, vil jeg tro at man skal have sving i noget induktion, altså kigge på om det passer for n=1, n=2, og det gør det ikke. Vedtag da, at det ikke passer for n=k, og du skal da vise, at det heller ikke passer for n=k+1

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#2,5: Av ja - det er korrekt, hvad allan og frodo bemærker - min fejl.
Det er træls, at jeg først opdager det i dag :(

Nuvel,

NYT FORSLAG:

Vi skal vise, at

K(n) = n^4 + n^2 + 1

ikke er et kvadrattal, når n gennemløber N (de naturlige tal).

Et kvadrattal kan skrives

K(m) = m^2

hvor m gennemløber N.

K(n) må ikke kunne skrives som et naturligt tals kvadrat. Skriv

K(p) = p^2 + p + 1

hvor p = n^2 er et kvadrattal.
For vilkårligt n i N er

p^2

og

(p+1)^2 = p^2 + 2p + 1

to PÅ HINANDEN FØLGENDE kvadrattal.
Bemærk, at

p^2

for alle n i N. Så K(p) kan ikke være et kvadrattal, fordi det ligger mellem to på hinanden følgende kvadrattal.

Induktion kan formentlig også vise påstanden, men det argument tror jeg er lidt vanskeligere at gennemføre.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. november 2004 af IngenKenderDagen (Slettet)

er det ikke bare kort at sige at

n^4+n^2+1 >= 0

netop fordi et kvadrat tal altid er større eller lig 0.
derfor:

n^4+n^2>=-1

Men da både n^4 og n^2 altid er større eller lig 0 er det jo klart at det øverste ikke er sandt..

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. november 2004 af Peden (Slettet)

n^4+n^2>=-1

Kan vel bruges som argument da intet naturligt tal i anden (et tal i fjerde er jo bare et tal i anden to gange)kan give et negativt tal !?

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. november 2004 af Peden (Slettet)

Eller, glem det, jeg er vist for træt.

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#8 Den første ulighed holder ikke, da n er et neturligt tal. Du kan kun sige

n^4 + n^2 + 1 >= 3

så dit argument holder ikke, så vidt jeg umiddelbart kan se.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. november 2004 af Epsilon (Slettet)

neturligt -> naturligt

Skriv et svar til: Kvadrattal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.