bevis for konstruktion af kvadratrødder

Hint: Kig på ensvinklede trekanter.

a^2 + b^2 = 2h^2 + d^2 + e^2 = 2*h^2 + (d + e)^2 - 2*e*d = 2*h^2 +c^2 -2*e*d  så 0= 2*h^2 - 2*e*d  <=>  2*h^2 = 2*e*d  <=>  h = kvrod(e*d)       

ps. beviset Isomorphicians henviser til er kortere og meget kønnere. Prøv at lave det.

Tak for Jeres bidrag til løsning af mit spørgsmål. Beviset endte med at se således ud:

Konstruktion af kvadratrødder

Sætning: Lad trekant ABC være retvinklet med C = 90 grader.
Lad h være højden fra C, så h deler siden C i d og e.

Der gælder så: h = kvrod( d*e)

Bevis:

Pythagoras`sætning giver

D^2 + h^2 = a ^2 og
E ^2 + h^2 = b^2

Vi opstiller en ligning som giver:

D^2 + e^2 + 2h^2 = a^2 + b^2

Dette kan også skrives:

d ^2 + e ^2 + 2h^2 = c^2

Fordi a og b er kateter i den oprindelige trekant ABC.
Men siden c er jo = længden af d + e, så dette kan også skrives:

d ^2 + e ^2 + 2h^2 = (d+e)^2

Da (d+e)^2 = (d+e)*(d+e) = d^2 + de + ed + e^2 = d^2 + 2de + e^2 Kan sidste ligning skrives som:

d ^2 + e ^2 + 2h^2 = d^2 + 2de + e^2

Her går d ^2 + e ^2 igen på begge sider og kan derfor "streges". Så nu har vi:

2h^2 = 2de (divider med 2 =>)

h^2 = de (tag kv-rod =>)

h = kvr(d*e)