Matematik

mat?? hilfe

01. december 2004 af madkassen99 (Slettet)

http://www.mat.dtu.dk/education/01905/Ugesedler/ugeseddel12.pdf

opgave 4, startende nederst side 3! nogen der kan greje den?...jeg får et resultat der hedder ca. 0.6, men syntes det virker lidt lidt!

Mvh Jimmy

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

jeg kender ikke noget til maple, og kender ikke betegnelsen"stationært punkt"
Er det det samme som et kritiskpunkt/ekstremumssted?

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#1: Et stationært punkt, et kritisk punkt og et lokalt ekstremumspunkt er én og samme ting.

#0: Hastigheden v, hvormed temperaturen vokser i myrens fodsåler, er

v = sqrt((df/dx)^2 + (df/dy)^2)

idet df/dx er x-komposanten af temperaturtilvæksten, og df/dy er y-komposanten af temperaturtilvæksten.

Gradienten i punktet (x0,y0)

'nabla' f(x0,y0) = (df/dx(x0,y0),df/dy(x0,y0))

Denne er oplyst i punktet (1/2,sqrt(3)/2) i opgaveteksten. Resten er beregning.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

#2 ok, takker. så er jeg med:)
JEg må desvære sige, at du har løst den forkerte opgave. det var opg. 4 der var spm. til:)

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

til første del skal du finde de partielle afledede til f, og sætte dem lig nul.
løs så for x og y, så du finde koordinater til de stationære punkter.
Når du skal undersøge om punkterne er saddelpunkter, min eller max, og om de er globale, er den en fordel at parametisere f
Du vil se at f vil nærme sig 0 i alle retninger, og de kritiskepunkter ligger såles, at de begge kun kan være globale masimaer

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

for at beregne dobbelt integralet skal du finde grænserne for x og y. Jeg kan umiddelbart ikke lige gøre dette i hånden.
Du har allerede fået oplyst grænserne for x, udtrykt ved y. Men jeg kan ikke finde ud af hvilke værdier y kan antage. Det må man kunne løse med maple

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#3: Ja - det går simpelthen fortrinligt i dag :P

#4: Man kan også karakterisere de stationære punkter på grundlag af egenværdierne for Hesse-matricen.

a) Gradienten af f

'nabla'f(x,y) = (2(y-x),2(x-y^3))

og denne er kun nulvektoren, hvis

x=y og x=y^3, dvs. hvis x=y={-1,0,1}

De kritiske punkter er derfor

(-1,-1), (0,0) og (1,1)

b) Hvis jeg ellers har regnet korrekt, så er alle de kritiske punkter saddelpunkter. Man kan ret let se, at fx (0,0) må være et saddelpunkt.

Givet 0
f(d,d) = 2d^2 - d^2 - (1/2)d^4 = d^2(1-(1/2)d^2) > 0 = f(0,0)

f(-d,d) = -3d^2 - (1/2)d^4 = d^2(-3-(1/2)d^2)

I en deltaomegn omkring (0,0) antager f både større og mindre værdier end f(0,0), så (0,0) kan kun være et saddelpunkt.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

min fejl, jeg havde helt overset (x,y)=(0,0), som som du siger er et saddelpunkt.
en (1,1) og (-1,-1) er maksimaer, og ikke saddelpunkter.
Det kan ses ved lidt logik.
f antager værdien 0 i (0,0), og 1/2 i de to andre kritiske punkter. Da man kan se af forskriften for f, at denne må gå mod 0, må (1,1) og (-1,-1) være maksimaer.

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

flor skrevet alligevel,
Vi prøver igen,
min fejl, jeg havde helt overset (x,y)=(0,0), som rigtigt nok er et saddelpunkt.
Men (1,1) og (-1,-1) er maksimaer, og ikke saddelpunkter.
Det kan ses ved lidt logik.
f antager værdien 0 i (0,0), og 1/2 i de to andre kritiske punkter. Da man kan se af forskriften for f, at denne må gå mod 0 når x og y øges, må (1,1) og (-1,-1) være maksimaer.
At f går mod 0 i alle retninger, kan ses mere klart ved en parametisering

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#7: Enig - jeg har lavet en tåbelig fortegnsfejl ved udregning af Hesse-matricen Hf(-1,-1)=Hf(1,1).

(-1,-1): lokalt maksimum
(0,0): saddelpunkt
(1,1): lokalt maksimum

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. december 2004 af Lurch (Slettet)

så er vi enige:)
men ejg kan ikke helt greje iterationen af dobbelt integralet uden brug af mat. program? Har du styr på den?

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#10: Det kan man klare med et itereret dobbeltintegral

SS f(x,y)dA (1)

over det skitserede plane område på

http://www.mat.dtu.dk/education/01905/Ugesedler/ugeseddel12.pdf

De to områder i hhv. 1. og 3. kvadrant er tydeligvis rotationssymmetriske omkring origo. Funktionen f antager samme værdier på de to områder, jf. forskriften

f(x,y) = 2xy - x^2 - (1/2)y^4

så vi kan nøjes med at udregne det halve volumen;

V/2 = SS(2xy - x^2 - (1/2)y^4)dxdy

med nedre indre grænse x=(1-1/2sqrt(4-2y^2))y, øvre indre grænse x=(1+1/2sqrt(4-2y^2))y, nedre ydre grænse y=0 og øvre ydre grænse y=sqrt(2).

Så er det bare at regne, med stor risiko for at lave fejl. Der er jo nok en grund til, at man skal bruge Maple til netop dette spørgsmål :D

//Singularity

Svar #12
01. december 2004 af madkassen99 (Slettet)

ey, mange tak for hjælpen ind til videre :D umiddelbart kan man jo se i mine x-grænser at y ikke må være +/-(sqrt(2)), og det er jo fristende bare at bruge de grænser! men får jeg maple til at løse hele (1-1/2*sqrt(4-2*y^2))*y får jeg imaginære tal

-sqrt(1+I) og -sqrt(1-I)

men de grænser er jo ikke nemme at forstå!

jeg skal aflevere imorgen tidlig...så håber jeg når at fange en af jer..

sov godt :D

Hilsen Jimmy

Svar #13
01. december 2004 af madkassen99 (Slettet)

hvorfor kan jeg ikke bruge nedre grænse som -sqrt(2), og hvad er den matematiske forklaring til at de er symmetriske?

Jimmy

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#13: Du kan godt bruge y=-sqrt(2) som nedre grænse, men så integrerer du i stedet over området i 3.kvadrant.

Du har ifølge opgaveteksten, at de to kurver som skærer hinanden i (-sqrt(2),-sqrt(2)), (0,0) og (sqrt(2),sqrt(2)) er bestemt af

x1 = (1+1/2*sqrt(4-2y^2))y

x2 = (1-1/2*sqrt(4-2y^2))y

Bemærk, at y^2 er lige, og y har modsat fortegn i 1.kvadrant hhv. 3.kvadrant, så de to områder vil overlappe, hvis det ene område roteres 180grader omkring origo.

//Singularity

Svar #15
01. december 2004 af madkassen99 (Slettet)

wow...sæt mig lige af

f(x,y)=f(-x,-y); <-- noget nær det du mener??

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#15: Ja også det :) Betragt den pågældende funktion

f(x,y) = 2xy - x^2 - (1/2)y^4

Leddene x^2 og y^4 er lige, og da vi betragter 1. hhv. 3.kvadrant, vil x og y have samme fortegn, og dermed er

f(x,y)=f(-x,-y) (1)

Pga. symmetrien omtalt i #14 kan du nøjes med at integrere over det ene af områderne, og pga. (1) vil det samlede volumen blot være det dobbelte resultat af det itererede integral over det ene af områderne.

Er du med nu?

//Singularity

Svar #17
02. december 2004 af madkassen99 (Slettet)

ahhh ..jeps...den gjorde underværker :D så er det hele på plads..har kun et spøgsmål, mere til en anden opgave, som kræve maple :(. men hvis jeg er heldif finder jeg en i morgen tidlig der kan greje den....men ellers mange tak for hjælpen...

Jimmy

Brugbart svar (0)

Svar #18
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#17: Ingen årsag :)

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #19
02. december 2004 af Lurch (Slettet)

#18 jeg er godt klar over hvrdan man regner rumfanget, men hvordan finder du den øvre grænse for y?

Brugbart svar (0)

Svar #20
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#19: Hvis vi fx holder os til området i 1.kvadrant, så ser vi, at de to kurver skærer hinanden i (sqrt(2),sqrt(2));

x1 = (1+1/2*sqrt(4-2y^2))y

x2 = (1-1/2*sqrt(4-2y^2))y

For y>sqrt(2) er x1 og x2 udefineret. Så det ER den øvre grænse for y.

//Singularity

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.