Matematik
cosinus relationer bevis
Hej
Prøver at lave et bevis for cosinus, der dukker bare en enkelt problem op ved beviset hvor hojden h falder udenfor trekanten.
Jeg har en trekant ABC hvor h falder udenfor trekantet.. Fodpunktet kalder jeg for D og der opstår 2 trekanter. ABD og ACD.
ABD: (a+x)^2+h^2=c^2
ACD: x^2+h^2=b^2
Nu issolerer jeg h^2 i begge ligninger og sætter dem lig hinanden.
b^2-x^2=c^2-(a+x)^2
Nu lægger jeg (a+x)^2 til på begge sider.
c^2=b^2-x^2+(a+x)^2
og ganger parantesen ud.
c^2=b^2+a^2+2ax
Det er så her jeg får problemet, idet der skal stå -2ax istedet for + hvis beviset skal passe.
Er der nogen der kan komme med en forklaring på hvorfor det ikke går op?
Mange tak på forhånd
Svar #2
19. maj 2009 af lallenalle (Slettet)
Hint:
når du skal til at "navngive" x skal du huske at tænke på hvilken vinkel der er tale om
Svar #3
19. maj 2009 af Le beuf (Slettet)
fortegnsfejl i formlen for ABD:
(a - x)^2 + h^2 = c^2
så burde den gå op
Svar #4
19. maj 2009 af lallenalle (Slettet)
så snakker vi en spidsvinkel. vi snakker i tilfældet for en stump
Svar #5
19. maj 2009 af Le beuf (Slettet)
vi snakker vel om cosinusrelationerne i en virkålig trekant?
og siddestykket a i trekant ABD, må jo være lige med siddestykket a trekant ABC minus siden x i trekant ACD
Svar #6
19. maj 2009 af lallenalle (Slettet)
sorry det lyder underligt i tilfældet hvor den ene vinkel er større end 90 grader og højden derfor vil falde udenfor trekant ABC.
Svar #7
19. maj 2009 af lallenalle (Slettet)
men altså:
dine udregninger er gode nok
c^2=b^2+a^2+2ax
nu skal du navngive x og her skal du huske hvilken vinkel du skal bruge. du skal ikke bruge vinkel C men vinkel 180 grader - vinkel C
x bliver da:
-cos(c)*b.
dette indsættes:
c^2 = b^2+a^2-2*ab*cos(C)
Svar #8
19. maj 2009 af mathon
cos-relationen:
trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet
med
1) A i (0,0)
2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1
4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D
dermed er vinkel B spids
ved figurbetragtning ses:
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a2 = h2 + |DB|2
*) a2 = (b*sin(A))2 + (c-b*cos(A))2
a2 = b2*sin2(A) + c2+ b2*cos2(A) - 2bc*cos(A)
a2 = b2(cos2(A) + sin2(A)) + c2 - 2bc*cos(A)
a2 = b2+ c2 - 2bc*cos(A)
beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:
ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1
og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A) - c
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a2 = h2 + |BD2
**) a2 = (b*sin(A))2 + (b*cos(A) - c)2
a2 = b2*sin2(A) + b2*cos2(A) + c2 - 2bc*cos(A)
a2 = b2(cos2(A) + sin2(A)) + c2 - 2bc*cos(A)
a2 = b2 + c2 - 2bc*cos(A)
eneste forskel på *) og **) er
i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A) - c
men
da
(c-b*cos(A))2 = (b*cos(A) - c)2...(udtrykket er symmetrisk)
bliver slut-formlen, a2 = b2 + c2 - 2bc*cos(A), den samme.
Bogstaverne kan cykliseres, hvorved de to analoge
b2 = a2 + c2 - 2ac*cos(B)
og
c2 = a2 + b2 - 2ab*cos(C)
fremkommer
Svar #9
19. maj 2009 af Rabis (Slettet)
tusind tak for hjælpen jeg skal nemlig op i eksamen til det :)
Skriv et svar til: cosinus relationer bevis
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.