{JF} - Ligning i planen og trigonometri

Indekstallet i b) skal ikke være et n. Det skal være et k.

Der skal altså stå ∑_k∈N arctan(0,5k^-2) = x.

I den første skal vi have, at b² - 2ab + a² + 4 < 0 <=> (a-b)² = -4, hvilket det ikke kan være

Den anden kigger jeg lige på. Du har en ligning med to ubekendte, den kan ikke løses, men man kan lave en funktion,

f(x) = ∑atan(0,5k^-2) → 0,78 for k → ∞ den har altså en grænseværdi.

Den med juleaften vil jeg lige tykke lidt på.

Kommentar til a):

Du må have lavet en fortegnsfejl i dine mellemregninger.

y = x² - ax - bx + ab + 1 = x² - (a + b)x + (ab + 1)

y skærer ikke x-aksen, hvis diskriminanten er negativ.

[-(a + b)]² - 4(ab + 1) < 0

<=> a² + 2ab + b² - 4ab - 4 < 0

<=> a² - 2ab + b² - 4 < 0 <=> (a - b)² < 4 <=> |a - b| < 2

Nu er a) næsten løst.

Kommentar til b):

Vi har en ligning med en ubekendt, nemlig x. Husk på, at k er et indekstal.

Dit funktionsudtryk er ikke gyldigt.

Jeg går ud fra, at du mener ∑ⁿ_k=1 atan(0,5k^-2) → 0,78... for n→∞

ja jg lavede en fortegnsfejl, vi får b-2<a<b+2 (det fik jeg faktsik også i går), og i den anden har du ret i det, for n→∞.

ad a) P(R∋x→(x-a)(x-b)+1≠0 | a,b∈{1,..,6})=P(|a-b|<2 | a,b∈{1,...,6})=(2*5+6)/6²=4/9

ad b) i rækker med arctan er ideen at bruge identiteten tan(v-w)=(tanv-tanw)/(1+tanvtanw). Man bemærker at

med 2k+1=tanv og 2k-1=tanw.

Hermed haves så at arctan(½k^-2)=v-w=arctan(2k+1)-arctan(2k-1). Summeres haves således

∑_n≥1arctan(½k^-2)=lim_k→∝arctan(2k+1)-arctan(1)=π/2-π/4=π/4 hvoraf tanx=1

Kommentar til a): Ja, det er korrekt. :)

Kommentar til b): Det er også korrekt, dog skal indekstallet ikke være n, men det er en mindre detalje.

Jeg vil komme med et lidt mere elegant argument til sidste udregning.

lim_k→∞ [arctan(2k+1) - arctan(1)] = lim_k→∞arctan(2n / (1 + (2n + 1))
= lim_k→∞arctan(1 / (1 + 1/n) = arctan(1), hvoraf tanx = 1.
 

#6 ja, indekset er forkert ... meen det er nogle(flere) af dine også ;-) Beviset i #5 er kun en hurtig udregning ... skal man være meget stringent skal, der vel også, være en regning mellem Σ_n(...) og lim(...) så det bliver synligt at leddende går ud med hinanden ... 

... om dit argument er mere elegant ved jeg ikke ... min viser forståelse af den trigonometriske funktion (tangens og dens inverse), mens din viser "hardcore" (well sådan da, da du bare bruger tan-identiteten) udregning ...

ja jeg skrev 0,78 i stedet for pi/4, hvilket næsten er det samme, men pi/4 er vel mere korrekt at skrive, og |a-b|<2 er også ensbetydende med det, jeg skrev b-2<a<b+2. At jeg så ikke gik skridtet videre og skrev, hvad tan(x) er, det fandt jeg sådan set ikke så vigtigt.

#8 Ganske rigtigt, og du har mulighed for at gå skridtet videre i den næste opgave, hvis du har mod på det. ;-)

Du mener den med juleaften? Ja den vil jeg godt kigge på, jeg venter sådan set bare på, at andre skal give deres bud, jeg har en fornemmelse, baseret på det gregorianske middelårs længde.

Ja, den med juleaften, men jeg er faktisk også lige i gang med at lave en ny opgave. :)

jeg kn sige så meget, at juleaften hvert 7. år falder på en onsdag