Diskontinuitetspunkter

#0: Bestemt grænseværdierne for x gående fra højre og venstre hen imod enderne af dine intervaller. Det vil sige mod x= -1 og x= -3.

Du mener altså:

lim x->-1 og lim x->-3, for de giver 0.

Eller hvad menes der med :grænseværdierne for x gående fra højre og venstre hen imod enderne af dine intervaller.

#2: Nu kender du grænseværdierne. Hvad er så f(-1) og f(-3)?

Er grænseværdierne så 0?

f(-1)=(1-(-1)^2)/((-1+1)(-1+3)=0

f(-3)=(1-(-3)^2)/((-3+1)(-3+3)=-8/0=0

Grænseværdierne er da:

limx->-1    (1-x^2)/((x+1)(x+3)=-4/(x+3)^2 = -1

limx->-3    (1-x^2)/((x+1)(x+3)=-4/(x+3)^2 = -uendeligt

Jeg ved ikke helt hvor vi er på vej hen? Jeg vil virkelig gerne forstå det her. Sidder med hovedet begarvet i bogen.

#4+5: Kontinuitet betyder, at grænseværdierne fra højre og venstre og selve funktionsværdien i et punkt alle er den samme. Er det tilfældet her?

Nej, og derfor må det betyde at den er diskontinuer i punkt både punktet x=-1 og x=-3?

og er det dokumentation nok for sådan en opgave?

#7 Nej, du skal regne. Som forslået i #1 og #6 skal du se/regne på lim_h>0,h→0 f(x₀±h) for x₀∈{-3,-1}
 

dvs. vi har for epsilon > 0 og delta >0, sådan når    |h|=|x-(-1)|,  x=h-1

|f(x) - f(-1)| = |((1-x^2)/((x+1)(x+3))  -  (((1-(-1)^2)/(((-1)+1)((-1)+3)) =  |(1-(h-1)^2)/((h-1+1)(h-1+3))|  = |(h^2-2*h+2)/(h*(h+2)|

Nu har jeg lige lavet det her, men er lige pludselig blevet i tvivl om jeg er på rette spor?

Det ovenover er slet ikke færdig, jeg skal bare vide om jeg er på rette spor?

#9 du behøver ikke epsilon-delta metoden ... det er faktisk bare at regne ... et eksempel: lad h>0 være passende lille da er

f(-3+h)=(1-(-3+h))/(3+(-3+h))=(4-h)/h=(4/h)-1→∝ når h→0  [ her har jeg tilladt mig at omskrive f(x) til (1-x)/(3+x) ]

... det er do med de øvrige udregninger

OMG, jeg ligger al min tid al det her mat, og jeg ved jeg dumper i det.

DVS.

f(-1+h) Hvordan ved jeg om der her skal stå minus eller plus h?

f(-1+h) = (1-(-1+h)) / ((-1+h+1)*(-1+h+3) = -(h-2) / (h*(h+2)) -> 0 når h ->0

f(-3+h) = (1-(-3+h)) / ((-3+h+1)*(-3+h+3) = -(h-4) / (h*(h-2))  -> 0 når h ->0
 

Du skal begge dele ... altså udregne fire grænseværdier (to for hver af de kritiske punkter) ... dvs. limes af

f(-1-h), f(-1+h), f(-3-h) og f(-3+h)

....FYI f(x₀-h) er fra ventre og f(x₀+h) er fra højre

#12 du regner iøvrig forkert i begge ligninger

f(-1+h)=(1-(-1+h)²) / ((-1+h+1)*(-1+h+3) =(2-h)/(2+h)→1 for h→0

f(-3+h)= se #11

f(-1+h) = (1-(-1+h)^2) / ((-1+h+1)*(-1+h+3) = -(h-2) / (h+2)) gående mod 1 når h ->0

f(-1-h) = (1-(-1-h)) / ((-1-h+1)*(-1-h+3) = -(h+2) / (h-2))  gående mod 1 når h ->0

f(-3+h) = (1-(-3+h)) / ((-3+h+1)*(-3+h+3) = -(h-4) / h  gående mod 0 når h ->0

f(-3-h) = (1-(-3-h)) / ((-3-h+1)*(-3-h+3) = -(3*h-1)/(3*(h+1) gående mod 1/3 når h ->0

Så skulle de være i orden

Hed funktionen ikke f(x)=(1-x^2)/((x+1)(x+3))? du mangler at opløfte x'et i tæller med 2

Det har jeg gjort i #15, mangler bare at skrive det på.

Fint ... det så jeg ikke ;-) De to første er (næsten) ok ... men ikke de to sidste

Hvordan ser du fx at -(h-4)/h går mod 0 ?

... der er iøvrigt en del regnefejl i #15

f(-1+h) = (1-(-1+h)^2) / ((-1+h+1)*(-1+h+3) = -(h-2) / (h+2)) gående mod 1 når h ->0

f(-1-h) = (1-(-1-h)^2) / ((-1-h+1)*(-1-h+3) = -(h+2) / (h-2)) gående mod 1 når h ->0

f(-3+h) = (1-(-3+h)^2) / ((-3+h+1)*(-3+h+3) = -(h-4) / h gående mod +uendelig når h > 0

f(-3-h) = (1-(-3-h)^2) / ((-3-h+1)*(-3-h+3) = -(h+4)/h gående mod -uendelig når h >0
 

Kan det hele ikke passe nu? Nu har tjekket, var kommet til at trykke gange et sted.

#19 sådan ... det får jeg også, så det vil sige .......