{JF} - Ulighed

Hint:

Vi har, at

2ⁿa_n = 3 · 2^n-1a_n-1 + 3/4

Lad nu

§_n = 2ⁿa_n , n = 1,2,..., da er

§_n = 3§_n-1 + 3/4 , §_n + 3/8 = 3 (§_n-1 + 3/8)

Da §₁ = 2a₁ = 21/8 får vi, at

§_n + 3/8 = 3^n-1 (§₁ + 3/8) = 3ⁿ

Heraf følger det, at

a_n = (2/3) ⁿ - 3 / 2ⁿ⁺³

Slet ingen? 

For at vise (a_n + 3 / 2n+3)^1/m • (m - (2/3)^n(m-1)/m) ≤ (m² - 1) / (m - n +1) mangler vi at vise

(2/3)^n/m (m - (2/3)^{n(m - 1) / m}) < (m² - 1) / (m - n +1)

eller (I): (1 - n / (m + 1)) (2/3)^n/m (m - (2/3)^n(m-1)/m) < m - 1.

Først ser vi at

1 - n / (m + 1) < (1 - 1/(m+1))ⁿ 

og (1 - n(m+1))^m < (1 - 1/(m+1))^mn = (m/(m+1))^mn = [1 / (1+1/m)^m]ⁿ

Da m≥2 følger det af binomialformlen

(1 + 1/(nm))^m ≥ 1 + C_m¹ · (1/m) + C_m² · 1/m² = 5/2 - 1/(2m) ≥ 9/4

Heraf følger det, at

(1 - n/(m+1))^m < (4/9)ⁿ eller 1-n/(m+1) < (2/3)^2n/m. (Tænk over dette.)

For at bevise (I) er det nok at vise

(2/3)^2n/m · (3/2)^n/m (m - (2/3)^n(m-1)/m) < m - 1, som er ækvivalent med

(2/3)^n/m · (m - (2/3)^n(m-1)/m) < m - 1

Lad nu (2/3)^n/m = Q.

Q∈(0,1) og vi får, at

Q(m - Q^m-1) < m - 1

eller (Q - 1) [m - (Q^m-1 + Q^m-2 + ... + 1] < 0, hvilket holder.

Dermed er uligheden vist.