Matematik

Inversion

30. september 2009 af musti4300 (Slettet)

Lad der være givet en cirkel og et punkt A uden for cirklen. Ved inversionen af A i cirklen forstås
punktet B som opnås på følgende måde (jf. Geometer illustrationen nedenfor). Fra A konstrueres en
linje AP som tangerer cirklen. Fra tangeringspunktet P nedfældes den vinkelrette på forbindelseslinjen
OA. Nedfældningspunktet er da inversionspunktet B. Hvis det givne punkt i stedet ligger
inden for cirklen defineres inversionen af punktet i cirklen ved det punkt der fremkommer når
konstruktionen udføres i den modsatte rækkefølge (fra B til A). Inversion af O defineres ikke.

a) Vis at B er inversion af A, netop når A og B ligger på en ret linje gennem O, og opfylder at
|OA| . |OB| = r2 hvor r er inversionscirklens radius.

Nogen kan rykke mig lidt frem.

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. september 2009 af MN-P (Slettet)

du glemte illustrationen

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. september 2009 af MN-P (Slettet)

Uden illustrationen kan det blive lidt svært at vise, men jeg prøver

ΔAPO er ensvinklet med ΔABP hvilket giver forholdene mellem siderne

|AP|/|AO|=|PB|/|PO|=|AB|/|PA|

heraf fås

1) |AP|²=|AO|*|AB|

Phytagoras for den retvinklede trekant APO giver

2) |AO|²=|OP|²+|AP|²

Længder på AO giver

3) |AB|+|BO|=|AO| ⇒ |AB|=|AO|-|BO|

fra 2 fås

|AP|²=|AO|²-|OP|²

De to udtryk for |AP|²sættes lig hinanden

|AP^|2=|AO|*|AB|=|AO|²-|OP|²

|AB| fra 3 indsættes

|AO|*(|AO|-|BO)|=|AO|²-|OP|² ganger ud

|AO|²-|AO|*|BO|=|AO|²-|OP|² trækker |AO|² fra på begge sider og ganger med (-1)

|AO|*|BO|=|OP|² |OP|= r

|AO|*|BO|=r²

Håber det er godt nok

Skriv et svar til: Inversion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.