{JF} - Pigernes støvler

Slet ingen?

Sandsynligheden er at alle får forkerte støvler på, altså P(ingen par af støvler) = 1- P(mindst 1 rigtig kombination)

Sabdsynligheden bliver derfor 1/20

nej, jeg mener nu, at den er 90% ud fra den argumentation, som jeg har skrevet her (men er ikke sikker):

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=762562

Må hellere prøve igen, da der ingen respons er. Nu konstruerer vi en model, hvor pigernes støvler står parvis i nogle kasser. Pigernme stiller sig efter badet ved hver sin kasse og på et bestemt signal åbner de den pågældende kasse. De må så have lige store muligheder for at få de forkerte støvler nemlig 9/10. Sandsynligheden for at mindst en f pigerne får sine støvler er 1 - (9/10)¹⁰ = 0,651.

Nu håber jeg du vil komme med løsningen Fourier, hvis det ikke er den, jeg har skrevet her.

Jeg beklager det sene svar. Sandsynligheden er ikke 90 %. Den er snarere 37 %, noget der ligger tæt på e^-1, hvilket er interessant.

Jeg viser det generelle tilfælde. Vi siger, at der er n piger og n støvler.

Lad §_k betegne hændelsen, at den k'te pige kommer i de rigtige støvler.

Da er §₁ ∪ ... ∪ §_n hændelsen, at mindst én pige kommer i de rigtige støvler, og vi har

P( ingen korrekte ) = 1 - P( §₁ ∪ ... ∪ §_n ).

Vi kan overbevise os selv om, at P( §_i1 ∩ ... ∩ §_in ) = (n - k)! / n! , ∀1 ≤ i₁ < ... < i_k ≤ n.

Vi definerer variablerne

m₀ := 0, m₁ := Σ_1≤i≤n P(§_i) , m₂ := ∑_{1≤i1<i2≤n} P(§_i1 ∩ §_i2)

m_k := ∑_{1≤i1<...<ik≤n} P(§_i1 ∩ §_in)

Sandsynligheden for foreningsmængden (§₁∪...∪§_n) kan vi på snedig vis udregne ved at tage summen af sandsynlighederne m₁ , men da har vi inkluderet for meget; så vi ekskluderer m₂ overlappende af to §_i'er. Dvs. vi har ekskluderet for meget, så vi inkluderer nu m₃ osv. Når vi har gjort dette n gange, har vi fået udregnet sandsynligheden for foreningsmængden

P(§₁∪...∪§_n) = ∑_i=1ⁿ  (-1)ⁱ⁺¹ · m_i .

Vi har da, at

m_k = K(n,k) · (n-k)! / n! = 1/k!

hvor K(n,k) betegner kombinationerne på den traditionelle form.

Heraf ser vi åbenlyst, at

P(§₁∪...∪§_n) = ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱ⁺¹ · m_i = ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱ⁺¹ · (1/i!) = (-∑_i=0ⁿ (-1)ⁱ · (1/i!)) + 1

som går mod 1 - e^-1.

P( ingen korrekte ) = 1 - P( §₁ ∪ ... ∪ §_n ) → 1 - (1 - e^-1) = e^-1 for n→∞.

Som jeg skrev i #5 er P(mindst en af pigerne får ine støvler) = 65,1%, så må sandsynligheden for at ingen får de rigtige støvler 1 - 0,651 = 34,9 %, hvilket jo svarer meget godt til din egen forudsigelse i #6. Jeg kan i øvrigt slet ikke læse, hvad du har skrevet, idet visse tegn skrives som firkanter. Symbolerne kommer ikke med på min skærm. Mit argument er, at sandsynligheden må være den samme for alle piger. Den førte pige har 10 farver at vælge imellem. Den næste pige har 9 farver, den tredje 8 farver, så det skulle give den n'te pige større sandsynlighed end den (n-1)'te, hvis det ikke var for den hændelse, at en af de foregående piger har taget hendes farve. Men det går lige op med hendes chance for at få sin egen farve. Jeg kan ikke se, at fordi man kommer sidst har man mindre chance for at få sine støvler. Tiden kan ikke spille ind her. Hvad siger du til mit argument om, at de på præcis det samme tidspunkt løfter æskerne, der gemmer på støvlerne. Så må de da alle have den samme chance? Hvad er der i vejen med det argument - hvis noget?

Jeg vil gerne komme med et eksempel. Vi koncentrerer os blot om 3 piger med hver deres farve (rød, gul og blå for eksempel). Her er 3! permutationer = 6 udfald, og kun et af dem giver den hændelse, hvor de alle får forkerte farver. Det bliver 1/3 * 1/2 * 1 = 1/6. Så må hændelsen mindst en af pigerne får de rigtige støvler være 5/6. 

Med 10 piger: Den første pige vælger blandt  10 farver, p = 9/10 for "forkert" farve. Den næste pige kan nu vælge blandt 9 farver, hvoraf 8 er "forkerte, p = 8/9 for at også hun vælger en "forkert" farve o.s.v, så må P(mindst en af pigerne får den rigtige farve være 1 - (9/10)*(8/9)*(7/8)*...*1, og så havner jeg igen på 0,9. Man kunne selvfølgelig argumentere for, at der kan være andre permutationer af sammenstilling af pigerne, men da de kun kommer een gang, så må det være ligemeget, hvem der vælger først. Hændelsen "Pigerne tager et par støvler succesivt" sker kun en enkelt gang.

Jeg synes i øvrigt, at P(ingen får de rigtige støvler på) må være langt højere end de 37%, når man tænker lidt over det, så jeg fastholder de 0,9.

Ser man på det på den anden måde, jeg bekrev, nemlig at de står ved hver deres kasse og samtidig åbner kassen, så har de alle lige chancer for at få den forkerte farve nemlig 9/10 eller P = 0,9, så det giver det samme.

Håber nogen vil svare på dette.

Først siger du omkring 1/3, og nu siger du 90 %.

"Sandsynligheden for at mindst en f pigerne får sine støvler er 1 - (9/10)^10 = 0,651." Det er ikke et argument.

Hvor er du i tvivl? Jeg kan godt uddybe mine beregninger, hvis du fortæller mig, hvad jeg skal uddybe.

Ja, jeg ved godt, det var noget sludder, jeg skrev. Jeg forvekslede det eller misforstod teksten. Som sagt kan jeg ikke læse symbolerne fra bjælken, kun få af dem. De andre viser sig som firkanter, men jeg er lidt træt af den opgave. Der er, som jeg ser det, for mange kombinationer. Og i øvrigt andre kloge hoveder, som jeg har haft fat i, kunne heller ikke lige klare den. Rød pige tager blå piges støvler, så kan blå tage rød eller en af de andre farver, afhængig af, hvad der er tilbage, det bliver et kæmpe "sandsynlighedstrætræ", hvis man skulle skrive det ud.