Differentialregning

a) Se hvornåt N(t) har maksimum, er voksende eller aftagende.

b) Brg et CAS værktøj.

Hvad er et CAS værktøj?

Okay dumt :D Det er min lommeregner.. Hvordan bruger jeg den?

Jeg har ikke selv en. Jeg har kun erfaringer med dem her fra portalen. Det er en avanceret lommeregner, som kan regne symbolsk. Den er et standartværktøj i gymnasiet.

Du har ikke en anden måde jeg kan gøre det på?

Jo. Der findes færdige formler til at løse sådan en differentialligning og en anden måde er at bruge separation af variable. Har du ikke hørt om det før må du nok regne med at det er din lommeregner, du skal bruge.

Spørgsmål 2  

Ligningen er en maskeret inhomogen liniær førsteordens differentialligning som kan opstilles som følger:

dy/dx + f(x)y = 2x + 5

Benyt f.eks. pansenformlen til at knuse problemet (dette indbefatter et partielt integral).

I dette tilfælde er f(x) = 1 og F(x) = x hvilket gør løsning i hånden overkommelig.

 Spørgsmål 2 forsat:

Panserformelen for den inhomogene lineære førsteordens differentialeligning er

y = e^∫f(x)dx ( ∫g(x) e^∫f(x)dxdx + k )

med den givne differentialeligning fås

y = 2x + 3 + ke^-x

(kontroller ved at differentiere y samt indsætte y i det givne y’, det giver samme resultat.)

Det er givet at y = 1 ⇔ y’ = 0 , dette indsættes i det givne y’ og x bestemmes, x = -2

Indsættes (x,y) = (-2,1) i det fundne y samt (x, y’) = (-2,0) i det fundne y’ (differentier y) fås i begge tilfælde

k = 2e^-2

og dermed y = 2x + 3 + 2e^-x-2 som er den ønskede funktionsforskrift.

2)

...eller
#8 skrevet lidt anderledes, men med samme indhold

y´ = 2x + 5 - y

y' + y = 2x + 5                                    multiplicer med e^x

e^x·y' + e^x·y = e^x·(2x + 5)

(e^x·y)' = e^x·(2x + 5)                             integrer md hensyn til x

e^x·y = ∫e^x·(2x + 5)dx                           delvis integration på højre side

e^x·y = e^x·(2x+5) - ∫e^x·(2x+5)'dx

e^x·y = e^x·(2x+5) - 2∫e^xdx

e^x·y = e^x·(2x+5) - 2e^x + k                   divideres med e^x på begge sider

y = 2x+5 - 2 + ke^-x

y = 2x + ke^-x + 3

linjen med ligningen y = 1 er tangent til grafen for f
dvs
y´ = 2x_o + 5 - y_o = 0 for y_o = 1         da y = 0x + 1
2x_o + 5 - 1 = 0
x_o = -2

med røringspunkt (-2,1)

hvoraf ved indsættelse i y = 2x + ke^-x + 3

1 = 2·(-2) + k·e^-(-2) + 3
1 = -4 + ke² + 3
e²·k = 2

k = 2e^-2

hvoraf

y = 2x + 2e^-2·e^-x + 3

                                                   y = 2x + 2e^-x-2 + 3
 

Panserformelen for den inhomogene lineære førsteordens differentialeligning er

y = e^-∫f(x)dx• ∫e^∫f(x)dx·g(x)dx