f(x) = a, med tre løsninger

Det du har er jo en tredjegradsligning:

$a=-x^3+4x^2+3x+3$

Først udregnes:

$Q=\frac{3\cdot a\cdot c-b^2}{9\cdot a^2}$

$R=\frac{9bc-27ad-2b^2}{54a^2}$

$S=\sqrt[3]{R+\sqrt{Q^3+R^2}}$

$T=\sqrt[3]{R-\sqrt{Q^3+R^2}}$

Rødderne er da givet ved:

$r_1=S+T-\frac{b}{3a}$

$r_2=-\frac{1}{2}\cdot (S+T)-\frac{b}{3a}+\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\cdot (S-T)$

$r_2=-\frac{1}{2}\cdot (S+T)-\frac{b}{3a}-\frac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\cdot (S-T)$

Diskriminanten defineres ved:

$D=Q^3+R^2$

Da gælder:

$D>0$: Én reel rod og to komplekse.

$D=0$: Alle rødder er reele. Der er maksimalt to forskellige.

$D>0$: Der er tre reele og forskellige rødder.

ses nemt på graftegneren

f(x) har vandret tangent
for
x = -(1/3) v x = 3

f(-1/3) = 67/27     f(3) = 21

hvorfor
netop tre løsninger
kræver

67/27<a<21
dvs mellem lokalt minimum og lokalt maksimum
 

Taqz, er sikkert på at det kunne være til megen hjælp, men har en fornemmelse for at du måske bruger nogle tegn som Windows XP ikke har liggende, da det virker utroligt uoverskueligt med "$Q=\frac{3\cdot a\cdot c-b^2}{9\cdot a^2}$"

Mathon, tak for dit svar.

Hvordan fandt du den vandrette tangent? Kan den ikke findes ved f '(x) = 0 eller er der noget jeg har misforstået?

som du skriver

f '(x) = -3x² + 8x + 3 = 0

Super, mange tak for hjælpen :)

Nu burde jeg kunne klare resten, ellers skriver jeg lige igen.

Tusind tak!