Differentialligning!

Skrevet på formen y+y' = 4, findes der en formel, der løser den, den findes et sted her på Portalen

Use your desolver! :)

desolve(y'=4-y and y(ln(3/4))=1,x,y)

Jeg mener at huske, at du skal skrive begge variable til sidst, men det er lang tid siden, jeg sidst har brugt funktionen, så du må lige selv korrigere, hvis det ikke er helt korrekt.

Vil helst løse den i hånden :-) men tak for buddet! :-D

y' + y = 4                              multiplicer med e^x på begge sider

e^x·y' + e^x·y = 4e^x                  som omskrives til

(e^x·y)' = 4e^x                          som integreres med hensyn til x på begge sider

∫(e^x·y)'dx = 4∫e^xdx      

e^x·y = 4e^x + C                      som divideres med e^x på begge sider

y = Ce^-x + 4                         gennen (ln(3/4);1) hvoraf

1 = C·((e^ln(3/4))^-1 + 4

1 = C·(3/4) + 4

-3 = (3/4)C

C = -4

konklusion:
          y = -4e^-x + 4

Synes dog at denne driller mest:

dy/dx=2y-1 hvor (x₀, y₀)=(ln(√3), 1)
 

y' + (-2)y = 4                                       multiplicer med e^-2x på begge sider   

og fortsæt som ovenfor........
 

#0

Det er heller ikke nemt at forstå. I virkeligheden finder man først løsningen til den homogene ligning y' + f(x)y = 0. Den kan du nemt finde, lad os kalde den funktion for h(x). Hvis vi nu skal løse den inhomogen ligning y' - y = 4, så starter vi med at skrive den på formen F(x)*(f(x)*y - r(x)dx) + F(x)dy = 0, man siger, at der er multipliceret med en integrationsfaktor, der kun afhænger af x og som gør ligningen eksakt. Hvad vil så det sidste sige? Jo hvis en differentialligning på formen M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 siges at være eksakt, hvis venstresiden af ligningen er det eksakte (totale) differential du = (δu/dx)dx + (δu/dy)dy, og hvad er så det totale differential? Ja vi kan blive ved - det er i hvert fald ikke gymnasiestof, men lad os bare gå lidt videre. Nu skriver vi den som δ/dy(F(f(x)*y - r(x)´dx = dF/dx. Nu kan vi separere ligningen og får ln |F| = ∫F(x)dx. Her er det så man tager F(x) = e^h(x) som integrationsfaktor, så i virkeligheden gætter vi løsningen. Det er nemlig naturligt at vælge netop den integrationsfaktor, det viser erfaringen. h(x) er ∫f(x)dx.

Som du ser er der en lang forhistorie til din opgave, så jeg forstå ikke helt, at du har fået den. men du skriver jo også, at du helst vil løse den i hånde, så der har vi nopk forklaringen.