Hjælp - Haster.. Dæmpet svingninger

du kan eftervise det,
hvis du kan løse
                        en lineær 2. grads differentialligning
af typen

                        x" + 2px' + ω_o²x = 0

eller

differentiere
                    x = A·e^-kt·sin(ωt+φ)     to gange

Den kan synes svær nå ja den er sgu svær, men man skal have fat i udgangspunktet. Uden den praktiske del af historien er det svær at gennemskue. Har du for eksempel et lod, der hænger i en fjeder, og er der en form for modstand (friktion for eksempel), så skal man først lægge mærke til, at den dæmpende kraft har den modsatte retning af den øjeblikkelige bevægelse. Man antager endvidere, at den dæmpende kraft er proportional med hastigheden, så kan man opskrive sin differentialligning som F = -C*dy/dt. Uden at gå i yderligere detaljer, så kan vi (i henhold til Newtons 2. lov for de kræfter, der virker på loddet) nu skrive m*y''=-k*y-cy'<=>my''+cy'+ky=0, det vil sige du skal kunne se, at netop den ligning dækker bevægelsen for et dæmpet mekanisk system. Den generelle løsning er (efter nogen omskrivning) den du har der. Ja den er svær, men løsningen kan også skrives y(t)=e^-αt(Acos(ωt)+Bsin(ωt)). Bagefter skal vi vurdere, om der er tale om kritisk dæmpning, overdæmpning eller underdæmpning. Det afjhænger af rødderne for den karakteristiske ligning.

 Ok, men hvad er C i den første ligning do opstiller, og hvor får du den fra?

 Det er forresten et matematisk pendul med et lod. 

C er blot en proportionalitetskonstant