Matematik

punktmængde-areal

25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

hallo det er mig igen:)

En kurve er givet ved
x=t^2
y=t^3-t

kurven afgrænser en punktmængde der har et areal.

hvordan beregner man arealet?

det ville self. ikke være noget problem hvis det var en funktion men det er det jo ikke...Jeg har grænserne men...

håber der er nogen derude med ngt. hjælp!

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar 2005 af Grus (Slettet)

x=t^2

<=>

t=x^½

så

y = (x^½)^(3-x^½
= x^(½*(3-x^½))
= x^(3/2 - ½x^½)

Så har vi y (f(x)) udtrykt ved x.

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#1: Nej - dette er forkert:

x = t^2 <=> t = x^½

Du glemmer den negative løsning;

t = -sqrt(x)

Man kan ikke opskrive y som en funktion af x, idet parameterkurven lukker om sig selv. Tages der højde for begge løsninger, har vi

y1 = x^(3/2) - sqrt(x)
y2 = -y1 = sqrt(x) - x^(3/2)

y1 og y2 beskriver to kurvesegmenter, som skærer hinanden i punktet (1,0) og mødes i punktet (0,0).

Er man ikke fortrolig med at integrere vektorfunktioner, kan udregning af det omspurgte areal realiseres ved at integrere y1 og y2.

//Singularity

Svar #3
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

ok tak men hvad så når jeg har integreret y1 og y2?

Svar #4
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

finder jeg arealet af hver og dernæst lægge dem sammen?

problemet er bare at så vil det give 0 self.

grænserne er ln2 og 0 ik?

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Arealet er ikke 0 - du skal tage højde for at y1 er ikke-positiv i det betragtede interval, mens y2 er ikke-negativ.

x-grænserne må være 0 og 1, jf. #2. Disse svarer til parameterværdierne t={-1,0,1}, idet (1,0) er et dobbeltpunkt på parameterkurven.

//Singularity

Svar #6
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

der står i opgaven at t skal være større en ½ og mindre end 4 dvs t kan ikke være -sqrt(x)

right?

dvs vi har én t værdi vi kan arbejde med og når vi integrere dette får vi et negativt areal:S

der er noget jeg må ha overset:(

Svar #7
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

jeg får arealet til 0,2247

kan det passe?

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Ja, hvis det er begrænsningerne på t, så har du ret. Banekurven for vektorfunktionen

x(t) = t^2
y(t) = t^3 - t

afgrænser ikke nogen punktmængde, hvis

1/2

men så giver det heller ingen mening at spørge til arealet.

#7: Hvis ellers jeg ikke har lavet regnefejl, så er det eksakte areal

A = 8/15 ~ 0.533....

//Singularity

Svar #9
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

hmm hvordan det?

er dine grænser 1 og 0?

som omtalt tidligere er mine grænser ln2 og 0 fordi når man sætter y=0 får man skæring med x-aksen hvilket bliver ln2 og 0...

Svar #10
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

desuden hvis du tegner den på grafregneren så kan du se at skæring er ved ln2 og at arealet er så lille at du næsten ikke kan se den (medmindre du self. ændre ved dit vindue)

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Det forstår jeg ikke. Snakker vi om den samme vektorfunktion:

x(t) = t^2
y(t) = t^3 - t

eller en helt anden? Hvis det er denne vektorfunktion, så ses det klart, at

y(t) = 0 <=> t^3 - t = t(t^2 - 1) = 0

hvoraf t = 0 eller t = +/-1. Heraf fås

x(0) = 0
x(-1) = x(1) = 1

(1,0) er altså et dobbeltpunkt (svarer til to forskellige værdier af t).

Integrationsgrænserne (x-grænser) må altså være 0 og 1.

En beregning af arealet ud fra vektorfunktionen (t-grænser -1 og 1) giver eksakt 8/15, så det må være det korrekte resultat.

#10: Der er ingen skæring ved ln2, hvis det er ovennævnte vektorfunktion, vi snakker om.

//Singularity

Svar #12
25. januar 2005 af aerobec (Slettet)

UPS my mistake

det hedder

x=lnt
y=t^2-3t+2

det må du meget undskylde men du behøver ikke at hjælpe mig med denne opg længere...jeg har lavet den:)

Skriv et svar til: punktmængde-areal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.