Komplekse tal

Omskriv højre side til polære koordinater altså til r*e^{iu + 2nπi}

      z⁵ = 5²·(cos(0,927295+p·2π) + i·sin(0,927295+p·2π))

      z = 5^2/5·(cos(0,185459+p·(2π/5) + i·sin(0,185459+p·(2π/5))    p∈{0,1,2,3,4}

 De Moivre's formel indirekte. Skriv det komplekse tal z på polær form: z = r·[cos(x)+i·sin(x)]. Så har vi

z^1/n = r^1/n·[cos(x)+i·sin(x)]^1/n = r^1/n[cos((x+2π·p)/n) + i·sin((x+2π·p)/n)].

Brug dette på din ligning til at beregne 5. rod af 3+4i.

.

hvad er det for nogle tal jeg skal tage cos og sin af ?

 x er argumentet, dvs. den (positive) vinkel, som linjen gennem (3,4) og (0,0) danner med x-aksen. Tit kaldes det v eller θ. r er modulus, dvs. afstanden mellem (3,4) og (0,0).

tager du så cos(3) og tilsvarende sin(4) ?

 Næh. Du udregner modulus og argument for z = 3+4i. Det går jeg udfra, at du kan. I min terminologi er modulus = r og argument = x.

har ingen problemer med modulus r, men mere med argumentet sidder og læser det 100 gange og fatter bare ikke en meter. Det jeg egentligt bare vil vide, hvordan man kommer frem til argumentet (v =arga)??

     
            1,90365·(cos(0,185459 + 0·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 0·(2π/5)) = 1,14219 + i·1,52292
            
            1,90365·(cos(0,185459 + 1·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 1·(2π/5)) = -1,09543 + i·1,5569

z =       1,90365·(cos(0,185459 + 2·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 2·(2π/5)) = -1,8192 + i·(-0,560707)

            1,90365·(cos(0,185459 + 3·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 3·(2π/5)) = -0,028901 + i·(-1,90343)
 
            1,90365·(cos(0,185459 + 4·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 4·(2π/5)) = -1,80134 + i·(-061568)

hvor kommer 1.90365 og 0,18... fra ?

 1.90365 er 5^2/5 og 0.18... er 1/5 gange argumentet til 3+4i. Argumentet af et komplekst tal z = a+ib beregnes som tan^-1(b/a).

Jeg vil dog spørge den gode mathon, hvorfor han har 5² som modulus.

der skal ikke spørges

blot rettes
5^1/5 = 1,37973
 

     
            1,37973·(cos(0,185459 + 0·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 0·(2π/5)) = 1,14219 + i·1,52292
            
            1,37973·(cos(0,185459 + 1·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 1·(2π/5)) = -1,09543 + i·1,5569

z =       1,37973·(cos(0,185459 + 2·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 2·(2π/5)) = -1,8192 + i·(-0,560707)

            1,37973·(cos(0,185459 + 3·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 3·(2π/5)) = -0,028901 + i·(-1,90343)
 
            1,37973·(cos(0,185459 + 4·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 4·(2π/5)) = -1,80134 + i·(-061568)

tiden udløb

           1,37973·(cos(0,185459 + 0·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 0·(2π/5)) = 1,35607 + i·0,254419

            1,37973·(cos(0,185459 + 1·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 1·(2π/5)) = 0,177082 + i·1,36832

z =       1,37973·(cos(0,185459 + 2·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 2·(2π/5)) = -1,24663 + i·0,591249

            1,37973·(cos(0,185459 + 3·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 3·(2π/5)) = -0,94754 + i·(-1,00291)

            1,37973·(cos(0,185459 + 4·(2π/5) + i·sin(0,185459 + 4·(2π/5)) = 0,661016 + i·(-1,21108)