Matematik
approximerende 1.gradspolynom? logaritmer
hej jeg har noget jeg ikke forstår i min bog, og håber nogen kan hjælpe mig med at forstå det.. (det er en metode fra 1600 tallet så det er altså ikke helt en nutidig logaritme vi snakker om)
En logaritmetabel bliver udregnet, hvor man til sidst har logaritmerne til en række tal, der er meget tætte på en, og altså logaritmen til de tal er meget tætte på 0.
Så står der, at man observerede for sådanne tal 1+x, med x tilstrækkelig lille, er log(1+x) omtrent proportional med x, dvs:
log(1+x)≈k*x
Så står der, at man med nutidens matematik nemt kan afsløre baggrunden for approximationen. Det er simpelthen en approximation af log(x) med et 1.gradspolynomium i x0=1, og k er tangenthældningen for logaritmegrafen i punktet x0=1.
Jeg forstår ikke tanken bag denne approximation og heller ikke hvad det er man kan afsløre med nutidens matematik? Og hvis man tager log(1), som x jo næsten er lig med, giver det jo 0. Hvorfor lagde man 1 til?
Desuden kommer denne opgave, som jeg også ville blive virkelig glad hvis nogen kunne hjælpe mig med at lave den. Gerne med mellemregninger og evt. forklaring:
Vi ved hælp af identiteten log(x)=ln(x)/ln(10) at det approximerende 1. gradspolynomium med udviklingspunkt i x0=1 er givet ved
L(x) =(1/ln(10)) *(x-1)
På forhånd tak!
Svar #1
15. december 2009 af sigmund (Slettet)
Prøv at tænke på Taylorrækker
Vi har 1. ordens Taylorudviklingen
L(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) = ln(1)/ln(10) + [1/(1·ln(10))]·(x-1) = [1/ln(10)]·(x-1).
Det er ligningen for tangenten til grafen for log(x) i punktet (1,log(1)) = (1,0).
Svar #2
15. december 2009 af rop (Slettet)
det forstår jeg ikke noget af... jeg kan godt se du bruger tangentligningen men hvad er det du skriver i kantet parantes?
og hvorfor er det nu den naturlige logaritme man bruger og ikke den almene?
Og kan du sige mig hvad hele pointen med alt det her er?
Svar #4
16. december 2009 af sigmund (Slettet)
Nej ok. Lad mig begynde et andet sted.
Logaritmen logb(x) (for en base b og et tal x) er defineret som den omvendte funktion af bx. Derfor har vi x = logb(bx) (eller x = blogb(x)). Logaritmen med base 10, dvs. den omvendte af x10, log10(x), kaldes normalt log(x). Logaritmen med base e, dvs. den omvendte af ex, loge(x), kaldes normalt ln(x).
Logaritmer bliver brugt indenfor mange videnskaber, hvor størrelser varierer meget. Eksempler på logaritmiske skalaer er decibelskalaen for lydstyrke, Richterskalaen for styrken af et jordskælv og den astronomiske skala for lysstyrken af en stjerne.
Svar #5
16. december 2009 af sigmund (Slettet)
Nu har du så til opgave at bestemme det approximerende 1. gradspolynomium med udviklingspunkt i x0 = 1. Et 1. gradspolynomium er et andet ord for en ret linje. Et approximerende 1. gradspolynomium er også kendt som tangenten. Dvs. at du skal finde ligningen for tangenten til log(x) i x0 = 1, hvor log(x) er titalslogaritmen. Til dette formål skal vi bruge den afledede af log(x). Vi kender denne, pånær en konstant. Vi ved, at den afledede af ln(x) er 1/x. Sammenhængen mellem log(x) og ln(x) er givet ved log(x) = ln(x)/ln(10). Vi har allerede, at den afledede af ln(x) er 1/x. Således er den afledede af log(x) lig med 1/(x·ln(10)). Husk, at log(x) er titalslogaritmen og ln(x) den naturlige logaritme!
Tangentligningen lyder L(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0). I vores tilfælde er x0 = 1, f(x0) = f(1) = log(1) = 0 og f'(x0) = f'(1) = 1/ln(10) (der står 1 divideret med ln(10)). Ligningen for tangenten lyder således: L(x) = 0 + (1/ln(10))·(x-1) = (x-1)/ln(10). Dette kaldes det approximerende 1. gradspolynomium med udviklingspunkt i x0 = 1.
Det står, at man observerede, at for tilstrækkelig lille x, gælder log(1+x) ≈ k·x. Dette har du vist med "moderne matematik", fordi hvis vi sætter 1+x ind for x i L(x), får vi L(1+x) = (1+x-1)/ln(10) = x/ln(10), hvilket netop er det, man observerede. Vi har så yderligere fundet udaf, at konstanten k er lig 1/ln(10).
Hvad er så pointen med alt dette, spørger du. En pointe er nok at kunne se udviklingen indenfor matematik, at kunne knyttede nutidig matematik sammen med historisk matematik.
Jeg håber, at du fik noget ud af mine skriverier her. Hvis ikke, så må jeg prøve igen.
Skriv et svar til: approximerende 1.gradspolynom? logaritmer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.