undvigelseshastighed

Ja egentlig skal du så finde den mindste hastighed, der er nødvendig, så "partiklen" med massen m ikke vender tilbage ti´l jorden. Du starter med radialafstanden af objektet fra jordens centrum (det antager vi, ligger fast). Hvis M er jordens masse og R er dens radius, så starter vi (som altid var jeg lige ved at sige) med Newtons gravitationslov. Kraften mellem m og M er det velkendte udtryk F = -GMm/r² * r_e, hvor r_e er en enhedsvektor rettet radialt udaf fra jordens centrum. Hvis v er farten til tiden t, bruger vi Newtons 2. lov m*dv/dt*r_e = -GMm*/r² * r_e <=> dv/dt = -GM/r² (Husk lige at tegne med, så du kan se, hvad der sker). Den sidste ligning kan vi skrive (dv/dr)*(dr/dt) = v(dv/dr) =  -GM/r². Den integrerer vi og finder v²/2 = GM/r +C₁. Da objektt starter fra jordoverfladen med farten v₀ har vi v=v₀, når r = R, så bliver c₁= v₀²/2 -GM/R, så ligningen længere oppe bliver v² = 2GM(1/r - 1/R) +v₀²

Når nu genstanden befinder sig i højden H over jordens overflade, og det vil sige, når r = R+H, fås v²=2GM(1/(R+H) -1/R)+v₀²=v₀²-(2GMH)/(R(R+H)) <=> v=√(v₀²-(2gRH)/(R+H)), v=√(v₀²-(2gRH)/(R+H), hvor jeg har brugt, at på jordens overflade, hvor r=R (altså radius, vil kraften fra jorden på massen m være lig mg, altså GM=gR².

Når nu H →uendelig bliver v=√(v₀²-2gR). Vi har jo Lim H/(R+H) = 1, for H→uendelig, så alt i alt nåede vi til vejs ende og kan konkludere, at den mindste nødvendige hastighed for at undslippe jordens tyngdefelt er √(2gR).

forstår ikke hvad der sker der hvor du skriver (dv/dr)*(dr/dt)=v(dv/dr)=-GM/r^2

dv/dr * dr/dt, du kan se, man kan forkorte med dr, så der står dv/dt, men det vi er ude efter er hastigheden dr/dt, derfor forlænger vi med dr i tæller og nævner

Du kan gøre det simpelt ved energi bevarelse.

Potentiel energi = -G*M*m/R

kinetisk energi = 1/2 *m*v^2

hvor M er jordens masse og m legemets masse,

Hvis partiklen skal kunne slippe helt væk, så er den kinetiske energi 0 uendelig langt væk fra jorden. Den potentielle energi er også til at være 0 uendelig langt væk. Dette giver dig

E(jord = E(uendelig langt væk)

1/2*m*v^2 - G*m*M/Rj = 0 + 0

v^2 = 2*G*M/Rj

hvor v er undslippelseshastigheden og Rj jorden radius

#4

"Hvis partiklen skal kunne slippe helt væk, så er den kinetiske energi 0 uendelig langt væk fra jorden. Den potentielle energi er også til at være 0 uendelig langt væk"

jeg synes netop ikke det er nemmere at forstå, end den måde jeg har behandlet det på, det kræver, at man kan gnnemskue, hvad der her forstås ved kinetisk og potentiel energi

#5 det er nok en smagssag alt afhængig af hvor abstrakt man tænker. Jeg vil til enhver tid vælge en energibetragtning fremfor en stringent matematisk udledning af to grunde,

1. Det er ofte meget nemmere og jeg er doven :)

2. Man mister hurtigt overblikket over hvad der foregår når man differentierer og integrerer osv osv. Energibetragtninger er oftest meget mere intuitive

Men ja, det kræver jo at man har lidt styr på de forskellige energiformer og hvordan de fungerer.

Ja jeg siger det bare, fordi man i din udredning skal være opmærksom på vores "0-potential-energi konfiguration" (i mangel af et bedre udtryk), som vi har valgt i uendelig afstand fra opsendelsespunktet. I den afstand defineres hastigheden også til at være 0. men det e hadtigheden i forhold til jorden. Vi kan ikke vide noget om, hvad der sker, udover, at rumskibet sandsynligvis vil blive indfanget af et stort tyngdefelt efter måske at have kredset omkring det i en "rum" tid - ikke at forveksle med rumtid.

Det er rigtigt at der kan foregå alt muligt komplekst, men det må man jo se bort fra i opgavebetragtningen. De ting ligger heller ikke i dine beregninger. 

Man kan sige at man definerer den potentielle energi til at være 0 i uendelig, men det giver jo god mening. Da gravitationskraften er større jo tættere du er på, så må den også være ubetydelig lille når man er meget langt væk. At den kinetiske energi (hastigheden) langt væk sættes til 0 er ikke en definition, men en oplysning fra opgaven. Nemlig at hvis rumskibet lige akkurat skal undslippe jordens tyngdefelt, så har det ingen overskydende hastighed i det øjeblik det er sluppet væk, så hastigheden er her 0.

Ok, det kunne vi nok snakke længe om, men lad det ligge, det er en definitionssag