hjælpppppp integral

Den første giver sig selv, hvis du kan huske, hvad lnx og 1/x differentieret giver...

I den næste skal du benytte dig af substitution.

víl du ikke fortælle lidt nærmere

∫(1/x + 1/x^2)dx=∫1/xdx + ∫1/x^2dx

Der gælder ∫1/xdx=ln|x| + c, det kan man bevise og så skal man bare huske det. Til at udregne det andet integral bruger man ∫x^ndx=1/(n+1)*x^(n+1) så ∫1/x^2dx = ∫x^-2dx=-1*x^-1=-1/x

Så ∫(1/x + 1/x^2)dx=ln|x| -1/x + c

I den næste skal man bruge substitution som siger at ∫f(g(x))*g'(x)dx=∫f(t)dt hvor t=g(x)

Hvis du sætter f(x)=ln(x) og g(x)=5+e^x ser man at f(g(x))=ln(5+e^x) og g'(x)=e^x

Så f(g(x))*g'(x)=ln(5+e^x)*e^x og fra den generelle formel jeg skrev får man

∫ln(5+e^x)*e^xdx=∫f(g(x))*g'(x)dx=∫f(t)dt=∫ln(t)dt=t*(ln(t)-1) + c= (5+e^x)*(ln(5+e^x)-1)+c

til sidst indsatte jeg t=g(x)=5+e^x