Pendulet

 Hejsa jeg skal skrive en SRO om pendulet. Jeg har svært ved at finde ud af hvordan man er kommet frem til at dens bevægelse beskrives med en sinuskurve, og at perioden findes ved T = 2π*(L/g)^0,5 hvor L er længden af snoren og g er tyngdeaccelerationen.

Jeg er kommet så langt at jeg har fundet ud af at:

"Jeg har vedhæftet en tegning der forhåbentligt skulle illustrere min tankegang"

Fres = Fg + Fsnor

Fres = Fg * sin(θ)     <--  Fres, Fg og Fsnor skal forstille at være vektore, og representerer hhv. tyngdekraften, kraften snoren trækker i pendulet med og den resulterendekraft.

Derfra får vi ud fra newtons anden lov F=m*a at :

a = sin(θ) * g

Min lærer gav mig så det hint at sin(θ) → θ  for små værdier af θ så:

a ≈ -θ*g 

Og det er herfra jeg er en smule i tvivl.

så får vi differentialligning

x'' = -g*θ * x(t)  Min lærer har givet mig løsningen til den, men den kan jeg heller ikke sådan HELT komme frem til:
x(t) = -g*θ*sin(√g*θ * t)   <-- ja, det er én af løsningerne man kan komme frem til men ikke den "generelle" er det??

=> x'' + g*θ * x(t) = 0    <-- som er en andengrads homogen differentialligning korrekt?

så jeg finder rødderne :  r^2 + g*θ = 0  =>  r = ± i*√g*θ

For andengrads homogene differentialligninger har jeg lært at den generelle løsning er  y(x) = e^λ ( cos(μ*x) + sin(μ*x) ) hvor lambda er den reelle del af den komplekse rod og my den imaginære...

godt. i min rod er der ingen reel rod, så e^0 = 1   vi får  

x(t) = cos(√g*θ *t) + sin(√g*θ *t)        og her går jeg så i stå.

Jeg ved at perioden for den slags findes nøjagtig ligesom hvis cosinus ledet ikke havde været der, så  T = 2π*√g*θ  Men i det udtryk står der absolut ingenting om længden af snoren. Så hvordan finder jeg ud af at udtrykke længden af snoren ud fra θ ?? :P  og hvorfor kan min matematik lærer bare antage at  
cos(√g*θ *t) + sin(√g*θ *t)  =  sin(√L/g * t)    eller hvordan det nu er.

Jeg tror der er gået noget helt fundementalt galt i beviset her :P håber nogen kan hjælpe. På forhånd tak.